《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

1. (2024·山东泰安)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,连接BC,BD,AC,OD,且BA平分∠CBD.若∠AOD= 50°,则∠A的度数为 (A)

A.65°
B.55°
C.50°
D.75°

答案： A

2. (2024·黑龙江牡丹江)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB是⊙O的直径.若∠BEC= 20°,则∠ADC的度数为 (B)

A.100°
B.110°
C.120°
D.130°

答案： B

3. 亮点原创·如图,四边形ABCO的顶点A,B,C都在⊙O上,过点O作OF⊥AB,交⊙O于点F,连接AF.若∠BAF= 15°,OA= 4,AB//OC,则四边形ABCO的周长为 (A)

A.16
B.18
C.20
D.24

答案： A

4. 如图,在以AB为直径的⊙O中,C为圆上一点,⌢{BC}= 3⌢{AC},连接AC,BC,弦CD⊥AB于点E,弦AF交CE于点H,交BC于点G,连接BF.若H是AG的中点,则∠CBF的度数为(C)
A.18°
B.21°
C.22.5°
D.30°

答案： C

5. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AE⊥CB,交CB的延长线于点E.若BA平分∠DBE,AD= 5,CE= √{13},则AE的长为 (D)
A.3
$B.3\sqrt {2}$
$C.4\sqrt {3}$
$D.2\sqrt {3}$

答案： 1. 首先，利用圆内接四边形的性质和角平分线的性质：
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，所以$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$。又因为$\angle ABC+\angle ABE = 180^{\circ}$，根据等角的补角相等，可得$\angle ABE=\angle ADC$。
由于$BA$平分$\angle DBE$，所以$\angle ABE=\angle ABD$。
根据圆周角定理，$\angle ACD=\angle ABD$，所以$\angle ACD=\angle ADC$。
2. 然后，得出$AC = AD$：
在$\triangle ACD$中，因为$\angle ACD=\angle ADC$，所以$AC = AD$（等角对等边）。已知$AD = 5$，则$AC = 5$。
3. 最后，在$Rt\triangle AEC$中求$AE$的长：
因为$AE\perp CB$，所以$\triangle AEC$是直角三角形，根据勾股定理$AE=\sqrt{AC^{2}-CE^{2}}$。
已知$AC = 5$，$CE=\sqrt{13}$，将其代入公式$AE=\sqrt{AC^{2}-CE^{2}}$，即$AE=\sqrt{5^{2}-\left(\sqrt{13}\right)^{2}}$。
计算$5^{2}-\left(\sqrt{13}\right)^{2}=25 - 13=12$，所以$AE=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
综上，答案是D。

6. 新素养 应用意识 如图,在半径为3的⊙O中,AB是直径,AC是弦,D是⌢{AC}的中点,连接BD交AC于点E,连接BC.若E是BD的中点,则AC的长是 ( )

$A.\frac {5\sqrt {3}}{2}$
$B.3\sqrt {3}$
$C.3\sqrt {2}$
$D.4\sqrt {2}$

答案：
D　解析:如图，连接OD交AC于点F,连接OC.因为D为$\overset{\frown}{AC}$的中点,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,即$∠AOF=∠COF$.又OA=OC,所以OD垂直平分AC.所以F为AC的中点，且$∠DFE=90^{\circ}$.又AB为$\odot O$的直径,所以$∠BCE=90^{\circ}$,即$∠DFE=∠BCE$.因为E为BD的中点,所以DE=BE.又$∠DEF=∠BEC$,所以$\triangle DFE\cong \triangle BCE(AAS)$.所以DF=BC.因为O为AB的中点，所以OF为$\triangle ABC$的中位线,即$OF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}DF$.所以$OD=\frac{3}{2}BC$.又OD=3,所以AB=6,BC=2.在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=4\sqrt{2}$