《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

15. (2025·江苏苏州期末)如图,四边形 ABCD 是边长为 5 的菱形,对角线 AC,BD 的长分别是一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+8m= 0$的两实数根,DH 是边 AB 上的高,则$DH=$4.8.

答案： 4.8

16. 已知关于 x 的一元二次方程$mx^{2}-nx-m-3= 0$对于任意实数 n 都有实数根,则 m 的取值范围是m＞0或m≤−3.

答案： m＞0或m≤−3

17. 【阅读理解】三角形中线长公式:三角形两边平方的和,等于所夹中线与第三边一半的平方和的两倍. 如图①,在$\triangle ABC$中,D 是边 BC 的中点,则$AB^{2}+AC^{2}= 2(AD^{2}+BD^{2})$.
【问题解决】请利用上面的结论,解决下面问题:如图②,C,D 是以 AB 为直径的$\odot O$上两点,P 是 OB 的中点,E 是 CD 的中点,且$∠CPD= 90^{\circ}$. 若$AB= 8$,则当$\triangle EPB$的面积最大时,CD 的长为______$4\sqrt{2}$.

答案： $4\sqrt{2}$　解析:如图，连接OC,OD,OE，取OP 的中点H,连接EH.因为∠CPD=90°,E为CD的中点,所以OE⊥CD,CD=2DE,PE=DE=CE=$\frac{1}{2}$CD.因为AB=8,所以OB=OC=OD=4.因为P是OB的中点,所以OP=BP=$\frac{1}{2}$OB=2,即OH=1.在△OPE中,由三角形中线长公式,得2(EH²+OH²)=OE²+PE²,即2(EH²+1)=OE²+PE².在△OCD 中,由三角形中线长公式,得2(OE²+CE²)=OC²+OD²,所以2(OE²+PE²)=32,即OE²+PE²=16.所以2(EH²+1)=16,解得EH=$\sqrt{7}$(负值已舍去).所以点E在以点H 为圆心，$\sqrt{7}$为半径的⊙H上运动.当EH为△EPB的高时,△EPB的面积最大，此时EH⊥AB.在Rt△OEH中，由勾股定理，得OE=$\sqrt{EH^{2}+OH^{2}}$=$2\sqrt{2}$.在Rt△ODE中,由勾股定理，得DE=$\sqrt{OD^{2}-OE^{2}}$=$2\sqrt{2}$,所以CD=$4\sqrt{2}$.

18. 新素养 模型观念 如图是小明以“青山看日出”为元素为某民宿设计的标志示意图,他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出. 已知 B,E,C,F 四点在同一条直线上,且$BE= EC= 2CF$,四边形 ABEG 和四边形 GCFD 的面积之差为$7\sqrt {3}$.
(1) CF 的长是______2;
(2) 连接 AD. 若$\odot O是\triangle ADG$的内切圆,则圆心 O 到 BF 的距离是______$4\sqrt{3}-2$.

答案：
(1)2　
(2)$4\sqrt{3}-2$　解析:
(1)设CF=x.因为BE=EC=2CF,所以BE=EC=2x,即BC=4x,EF=3x.因为△ABC与△DEF为等边三角形,所以易得$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}$BC²=$4\sqrt{3}x^{2}$,$S_{\triangle DEF}=\frac{\sqrt{3}}{4}$EF²=$\frac{9\sqrt{3}}{4}x^{2}$.因为四边形ABEG 和四边形GCFD的面积之差为$7\sqrt{3}$,所以$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle DEF}=7\sqrt{3}$,即$4\sqrt{3}x^{2}-\frac{9\sqrt{3}}{4}x^{2}=7\sqrt{3}$.所以x²=4,解得x=2(负值已舍去).所以CF=2.
(2)因为△ABC和△DEF都是等边三角形,所以AC=BC,DE=EF,∠GEC=∠GCE=60°.又∠GEC+∠GCE+∠CGE=180°,所以∠CGE=60°,即△GEC为等边三角形.所以GE=GC=EC,∠AGD=60°.由
(1),得CF=2,且BE=EC=2CF,所以BE=EC=4,即GE=GC=4,AC=BC=8,DE=EF=6.所以AG=4,DG=2.取AG的中点M,连接DM,则AM=GM=DG=2,所以△GMD为等边三角形,即DM=2,∠GMD=∠GDM=60°.所以AM=DM,即∠MAD=∠MDA.又∠MAD+∠MDA=∠GMD,所以∠MAD=∠MDA=30°.所以∠ADG=∠MDA+∠GDM=90°.又⊙O为△ADG的内切圆，所以点O在∠AGD的平分线上.连接OG并延长，交BF于点H,则∠AGO=∠DGO=30°,即∠EGH=∠CGH=30°.所以GH平分∠CGE,即GH⊥BF.所以OH⊥BF，即OH的长为圆心O到BF的距离.所以EH=CH=$\frac{1}{2}$EC=2.在Rt△EHG中,由勾股定理，得GH=$\sqrt{GE^{2}-EH^{2}}$=$2\sqrt{3}$.在Rt△ADG中,由勾股定理，得AD=$\sqrt{AG^{2}-DG^{2}}$=$2\sqrt{3}$.过点O作ON⊥AG于点N,易得ON=$\frac{AD+DG-AG}{2}$=$\sqrt{3}-1$.所以OG=2ON=$2\sqrt{3}-2$.所以OH=OG+GH=$4\sqrt{3}-2$.则圆心O到BF的距离为$4\sqrt{3}-2$.

19. (6 分)解下列方程:
(1) (2024·黑龙江齐齐哈尔)$x^{2}-5x+6= 0$;
(2) $2x^{2}-5x+1= 0$.

答案：
(1)$x_{1}=3$,$x_{2}=2$.
(2)$x_{1}=\frac{5+\sqrt{17}}{4}$,$x_{2}=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$.

20. (6 分)已知 A,B,C,D 四点在同一个圆上,请仅用无刻度的直尺完成下列作图. (不写作法,保留作图痕迹)
(1) 如图①,$AB= CD$,在图①中作出该圆的一条直径;
(2) 如图②,AB,BC,CD 是圆内接正五边形的三条边,在图②中作出该圆的圆心.

答案：