《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

24. (7 分)如图,转盘 $ A,B $ 中的各个扇形的面积分别相等,转盘 $ A $ 的 3 个扇形中分别标有数字 1,2,3,转盘 $ B $ 的 3 个扇形中分别标有数字 4,5,6.
(1) 现任意转动转盘 $ A $ 1 次(若指针落在扇形的边界线上,则重转 1 次),则当转盘停止转动时,指针落在标有数字 1 的扇形内的概率为______;
(2) 现任意转动转盘 $ A,B $ 各 1 次(若指针落在扇形的边界线上,则重转 1 次),当转盘停止转动时,求转盘 $ A,B $ 的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率(请用画树状图或列表的方法说明理由).

答案：

(1)$\frac {1}{3}$
(2)画树状图如图:由树状图,得共有9种等可能的结果,其中两个数字之和为奇数的结果有5种,所以两个数字之和为奇数的概率为$\frac {5}{9}$.

25. (8 分)如图①是一扇推拉式窗户, $ AB $ 为固定的窗框底边, $ AC $ 为该窗户开启时的下沿边,可绕点 $ A $ 旋转一定角度, $ MN $ 为支撑杆,其中一端固定在窗户下沿边 $ AC $ 上的点 $ M $ 处,另一端点 $ N $ 在窗框底边 $ AB $ 上滑动(窗户关闭时, $ AC,MN $ 叠合在 $ AB $ 上),支撑杆 $ MN $ 的长固定不变,窗户打开一定角度后, $ AC $ 即与 $ AB $ 构成一个旋转角 $ \angle CAB $,其俯视平面图如图②所示,窗户的旋转角 $ \angle CAB $ 的取值范围为 $ 0^{\circ}\leqslant\angle CAB\leqslant 160^{\circ},MN = 20cm $.
(1) 将窗户打开至旋转角 $ \angle CAB = 45^{\circ} $ 时,第一次测得 $ \angle MNA = 30^{\circ} $,求此时 $ AN $ 的长(结果保留根号);
(2) 在(1)的基础上,继续打开窗户,即将 $ AC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转,旋转角 $ \angle CAB $ 从 $ 45^{\circ} $ 开始逐渐增大,旋转后 $ M,N $ 两点的对应点分别为 $ M',N' $ 两点,直至第二次测得 $ \angle M'N'A = 30^{\circ} $ 时停止旋转,求点 $ N $ 在此过程中滑动的距离.

答案：

(1)如图,过点M作$MD\perp AB$,垂足为D,则$\angle ADM=\angle NDM=90^{\circ}$.又$\angle CAB=45^{\circ}$,$\angle MNA=30^{\circ}$,$MN=20\ \text{cm}$,所以$\angle AMD=90^{\circ}-\angle CAB=45^{\circ}$,$DM=\frac {1}{2}MN=10\ \text{cm}$,即$\angle CAB=\angle AMD$.所以$AD=DM=10\ \text{cm}$.在$Rt\triangle MND$中,由勾股定理,得$DN=\sqrt {MN^{2}-DM^{2}}=10\sqrt {3}\ \text{cm}$.所以$AN=AD+DN=(10+10\sqrt {3})\ \text{cm}$.
(2)如图,过点$M'$作$M'E\perp AB$,交BA的延长线于点E.由
(1),得$AD=DM=10\ \text{cm}$,$\angle ADM=90^{\circ}$,$AN=(10+10\sqrt {3})\ \text{cm}$,则由勾股定理,得$AM=\sqrt {AD^{2}+DM^{2}}=10\sqrt {2}\ \text{cm}$.由旋转的性质,得$M'N'=MN=20\ \text{cm}$,$AM'=AM=10\sqrt {2}\ \text{cm}$.在$Rt\triangle M'N'E$中,$\angle M'N'A=30^{\circ}$,所以$M'E=\frac {1}{2}M'N'=10\ \text{cm}$.由勾股定理,得$N'E=\sqrt {M'N'^{2}-M'E^{2}}=10\sqrt {3}\ \text{cm}$.在$Rt\triangle M'EA$中,由勾股定理,得$AE=\sqrt {AM'^{2}-M'E^{2}}=10\ \text{cm}$,所以$AN'=N'E-AE=(10\sqrt {3}-10)\ \text{cm}$.所以$NN'=AN-AN'=20\ \text{cm}$.则点N在此过程中滑动的距离为20 cm.