《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

6. 给定一个矩形,如果存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍,那么称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”.当已知矩形的长和宽分别为3和1时,其“加倍矩形”的对角线长为2$\sqrt {13}$.

答案： 2$\sqrt {13}$

7. (2024·江苏苏州)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图,由六条等弧连接而成,六条弧所对应的弦构成一个正六边形,中心为点O,连接OA,OB,$\overgroup{AB}$所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心,连接CA,CB.若AB= 2√{3},则花窗的周长(图中实线部分的长度)为8π.(结果保留π)

答案： 1. 首先求$\angle AOB$的度数：
因为正六边形的中心角$\angle AOB=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$，且$OA = OB$，所以$\triangle AOB$是等边三角形，则$\angle OAB=\angle OBA = 60^{\circ}$。
2. 然后求$\angle CAB$和$\angle CBA$的度数：
因为点$C$是$\triangle ABO$的内心，所以$AC$平分$\angle OAB$，$BC$平分$\angle OBA$。
那么$\angle CAB=\frac{1}{2}\angle OAB = 30^{\circ}$，$\angle CBA=\frac{1}{2}\angle OBA = 30^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ACB=180^{\circ}-\angle CAB - \angle CBA=120^{\circ}$。
3. 接着求弧$\overgroup{AB}$所在圆的半径$r$：
过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$，因为$CA = CB$（同圆半径相等），$AB = 2\sqrt{3}$，所以$AD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\cos\angle CAB=\frac{AD}{CA}$，已知$\angle CAB = 30^{\circ}$，$AD=\sqrt{3}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
由$\cos30^{\circ}=\frac{AD}{CA}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{CA}$，解得$CA = 2$。
4. 最后求花窗的周长$L$：
弧长公式为$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角，$r$是半径），这里$n = 120^{\circ}$，$r = 2$，且花窗由$6$条等弧组成。
一条弧长$l=\frac{120\pi×2}{180}=\frac{4\pi}{3}$。
花窗周长$L = 6×\frac{4\pi}{3}=8\pi$。
故答案为$8\pi$。

8. (2024·山东东营)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图,⊙O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积,可得π的估计值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积,则可得π的估计值为$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt {2}$

方程$x^3-5x+2= 0$的解为$x_1 = 2$，$x_2 = -1 + \sqrt{2}$，$x_3 = -1 - \sqrt{2}$.

答案： $x^3 - 5x + 2 = 0$
$x^3 - 4x - x + 2 = 0$
$x(x^2 - 4) - (x - 2) = 0$
$x(x - 2)(x + 2) - (x - 2) = 0$
$(x - 2)(x^2 + 2x - 1) = 0$
$x - 2 = 0$或$x^2 + 2x - 1 = 0$
由$x - 2 = 0$得$x_1 = 2$
对于$x^2 + 2x - 1 = 0$，$a = 1$，$b = 2$，$c = -1$
$\Delta = 2^2 - 4×1×(-1) = 8$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2×1} = -1 \pm \sqrt{2}$
即$x_2 = -1 + \sqrt{2}$，$x_3 = -1 - \sqrt{2}$
方程的解为$x_1 = 2$，$x_2 = -1 + \sqrt{2}$，$x_3 = -1 - \sqrt{2}$

10. 若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等,则称这个四边形为“奇妙四边形”.如图,四边形ABCD是“奇妙四边形”,且A,B,C,D四点在⊙O上.若⊙O的半径为6,∠BCD= 60°,则AC的长为______6√3.

答案： 6$\sqrt {3}$解析:连接OA,OC,过点O作$OE\perp AC$于点E,则$AC=2AE$,$\angle AEO=90^{\circ}$,$\angle AOE=\frac{1}{2}\angle AOC$.又四边形ABCD是“奇妙四边形”,所以$AC=BD$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.所以$\angle ABC=\angle BCD$.又$\angle BCD=60^{\circ}$,所以$\angle ABC=60^{\circ}$,即$\angle AOC=2\angle ABC=120^{\circ}$.所以$\angle AOE=60^{\circ}$.又$\angle AOE+\angle OAE=90^{\circ}$,所以$\angle OAE=90^{\circ}-\angle AOE=30^{\circ}$,即$OE=\frac{1}{2}OA$.又$OA=6$,所以$OE=3$.在$\text{Rt}\triangle AOE$中,由勾股定理,得$AE=\sqrt{OA^{2}-OE^{2}}=3\sqrt{3}$,所以$AC=6\sqrt{3}$.

11. (16分)阅读材料,并解决问题.
已知实数m,n满足$(2m^2+n^2+1)(2m^2+n^2-1)= 80,$试求$2m^2+n^2$的值.
解:设$2m^2+n^2= t,$则原方程化为(t+1)(t-1)= 80.整理,得$t^2-1= 80.$所以$t^2= 81,$解得t= ±9.因为$2m^2+n^2≥0,$所以$2m^2+n^2= 9.$
上面这种方法称为“换元法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
已知实数x,y满足$(4x^2+4y^2+3)(4x^2+4y^2-3)= 27,$求$x^2+y^2$的值.

答案： 设$t=x^{2}+y^{2}(t\geq0)$,则原方程化为$(4t+3)\cdot(4t-3)=27$.整理,得$16t^{2}-9=27$.所以$t^{2}=\frac{9}{4}$,解得$t=\frac{3}{2}$(负值已舍去),即$x^{2}+y^{2}$的值是$\frac{3}{2}$.