《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

23. (8分)如图,$\triangle ABC是\odot O$的内接三角形,AB是$\odot O$的直径,BE是$\odot O$的切线,$∠ACB的平分线交\odot O$于点D,连接BD.
(1) 判断$∠CDB与∠CBE$之间的数量关系,并说明理由；
(2) 若$AB= 10$,求BD的长.

答案：
(1) ∠CDB=∠CBE. 理由如下:因为 AB 是⊙O 的直径,所以∠ACB=90°,即∠BAC+∠ABC=90°. 又 BE 是⊙O 的切线,所以∠ABE=90°,即∠ABC+∠CBE=90°. 所以∠BAC=∠CBE. 又∠BAC=∠CDB,所以∠CDB=∠CBE.
(2) 连接 OD. 由
(1),得∠ACB=90°. 因为 CD 平分∠ACB,所以∠BCD= $\frac{1}{2}$∠ACB=45°. 所以∠BOD=2∠BCD=90°. 因为 AB=10,所以 OB=OD= $\frac{1}{2}$AB=5. 在 Rt△OBD 中,由勾股定理,得 BD= $\sqrt{OB^2 + OD^2}$=5$\sqrt{2}$.

24. (6分)【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法.以$x^{2}+3x-10= 0$为例,大致方法如下：
第一步：将原方程变形为$x^{2}+3x= 10$,即$x(x+3)= 10$；
第二步：如图①,构造一个长为$x+3$、宽为x的长方形,且面积为10；
第三步：如图②,用四个这样的长方形围成一个大正方形,中间空白部分恰好是一个小正方形,则大正方形的边长为$2x+3$,小正方形的边长为3；
第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和,得到$(2x+3)^{2}= 49$.虽然在几何图形中x的值不能取负数,但事实上,通过构图完成了关键的配方步骤,只要开平方得$2x+3= \pm7$,即可求得方程的两个根$x_{1}= 2$,$x_{2}= -5$.
【方法理解】在图③④⑤中,能体现方程$x^{2}-x-6= 0$的解法的是______(填序号),观察图形可知$(2x-1)^{2}= $______；
【灵活应用】仿照上述方法,画出两种能够求出方程$2x^{2}+5x-3= 0$的解的图示(标注必要数据).

答案：
【方法理解】⑤ 25
【灵活应用】答案不唯一,如图①②: