《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

25. (8分)亮点原创·2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国成都举行.某网店直接从工厂购进成都世运会吉祥物“蜀宝”“锦仔”两款钥匙扣,进货价和销售价如下表:
(注:利润= 销售价-进货价)
|类别|“蜀宝”钥匙扣|“锦仔”钥匙扣|
|进货价/(元/件)|30|25|
|销售价/(元/件)|45|37|
(1)该网店第一次用850元购进“蜀宝”“锦仔”两款钥匙扣共30件,求这两款钥匙扣分别购进的件数;
(2)第一次购进的钥匙扣售完后,该网店计划再次购进“蜀宝”“锦仔”两款钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少?
(3)春节期间,该网店打算把“锦仔”钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,那么平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元/件,平均每天可多售出2件,将销售价定为多少元/件时,才能使“锦仔”钥匙扣平均每天的销售利润为90元?

答案：
(1)设“蜀宝”钥匙扣购进的件数为$a$，“锦仔”钥匙扣购进的件数为$b$.由题意，得$\begin{cases}a+b=30,\\30a+25b=850,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=20,\\b=10.\end{cases}$则“蜀宝”“锦仔”两款钥匙扣分别购进的件数为20,10.
(2)设购进“蜀宝”钥匙扣的件数为$y$,获得的销售利润为$w$元,则购进“锦仔”钥匙扣的件数为$80-y$.由题意,得$30y+25(80-y)\leqslant2200$,解得$y\leqslant40$.又$w=(45-30)y+(37-25)(80-y)=3y+960$,所以$w$随$y$的增大而增大.所以当$y=40$时,$w$取最大值,且最大值为$3×40+960=1080$,此时$80-y=40$.所以“蜀宝”“锦仔”两款钥匙扣购进的件数分别为40,40时,才能获得最大销售利润,且最大销售利润是1080元.
(3)设“锦仔”钥匙扣的销售价为$x$元/件.由题意,得$(x-25)[2(37-x)+4]=90$,解得$x_{1}=34$,$x_{2}=30$.则“锦仔”钥匙扣的销售价定为30元/件或34元/件.

26. (8分)新趋势 学科融合 某物体从点P沿直线运动到点Q所用的时间为7s,其运动速度$v(m/s)关于时间t(s)$的函数关系如图所示.某数学兴趣小组经过探究发现:该物体前3s运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积;由物理学知识还可知:该物体前$n\ s(3＜n≤7)$运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和.
(1)当$3＜t≤7$时,用含t的代数式表示v;
(2)①分别求该物体在$0≤t≤3和3＜t≤7$时,运动的路程$s(m)关于时间t(s)$的函数表达式;
②求该物体从点P运动到总路程的$\frac {7}{10}$时所用的时间.

答案：
(1)设线段$BC$所在直线对应的函数表达式为$v=kt+b$.因为$B,C$两点的坐标分别为$(3,2)$,$(7,10)$,所以$\begin{cases}3k+b=2,\\7k+b=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-4.\end{cases}$所以$v=2t-4(3＜t\leqslant7)$.
(2)①由题意,得当$0\leqslant t\leqslant3$时,$s=2t$;当$3＜t\leqslant7$时,$s=3×2+\frac{1}{2}[2+(2t-4)](t-3)=t^{2}-4t+9$.综上,$s$关于$t$的函数表达式为$s=\begin{cases}2t(0\leqslant t\leqslant3),\\t^{2}-4t+9(3＜t\leqslant7).\end{cases}$ ②由
(2)①,得当$3＜t\leqslant7$时,$s=t^{2}-4t+9$.所以当$t=7$时,$s=7^{2}-4×7+9=30$,即总路程为$30\ \text{m}$.所以总路程的$\frac{7}{10}$为$\frac{7}{10}×30=21(\text{m})$.又$21＞6$,所以$3＜t\leqslant7$.令$t^{2}-4t+9=21$,整理,得$t^{2}-4t-12=0$,解得$t_{1}=6$,$t_{2}=-2$(舍去).所以该物体从点$P$运动到总路程的$\frac{7}{10}$时所用的时间为$6\ \text{s}$.