《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

25. (8 分)如图, $ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径, $ C,D $ 两点在 $ \odot O $ 上,且 $ D $ 为 $ \overset{\frown}{BC} $ 的中点,连接 $ AC $,过点 $ D $ 作 $ DE\perp AC $,交 $ AC $ 的延长线于点 $ E $,连接 $ BD $.
(1) 求证:直线 $ DE $ 是 $ \odot O $ 的切线;
(2) 若 $ AC = 3,BD= \sqrt{5} $,求 $ DE $ 的长.

答案： （1）连接OC,OD.因为D为$\widehat{BC}$的中点,所以$\widehat{CD}=\widehat{BD}$.所以$∠COD=∠BOD=\frac{1}{2}∠BOC$.又$∠A=\frac{1}{2}∠BOC$,所以$∠BOD=∠A$.所以$OD// AC$.又$DE⊥AC$,所以$OD⊥DE$.因为OD是$\odot O$的半径,所以直线DE是$\odot O$的切线. （2）连接BC交OD于点F,则$∠ACB=90^{\circ}$.由（1）,得$\widehat{BD}=\widehat{CD}$,$OD⊥DE$,$OD// AC$,所以$OD⊥BC$,$CF=BF$,即四边形CEDF是矩形,OF是$\triangle ABC$的中位线,所以$DE=CF=BF$.又$AC=3$,所以$OF=\frac{3}{2}$.设$\odot O$的半径为r,则$OB=OD=r$.所以$DF=r-\frac{3}{2}$.在$Rt\triangle OBF$与$Rt\triangle DBF$中,由勾股定理,得$BF^{2}=OB^{2}-OF^{2}$,$BF^{2}=BD^{2}-DF^{2}$.又$BD=\sqrt{5}$,所以$r^{2}-(\frac{3}{2})^{2}=(\sqrt{5})^{2}-(r-\frac{3}{2})^{2}$,解得$r=\frac{5}{2}$(负值已舍去).则$OB=\frac{5}{2}$.所以$BF=\sqrt{(\frac{5}{2})^{2}-(\frac{3}{2})^{2}}=2$,即$DE=2$.

26. (9 分)已知二次函数 $ y = ax^{2}-2ax + 1 $ ( $ a $ 为常数,且 $ a\neq 0 $).
(1) 该函数的图像必经过两个定点:$(0,1)$,$(2,1)$;
(2) 若该函数图像与 $ x $ 轴只有一个交点,求该函数图像的顶点坐标;由题意,得一元二次方程$ax^{2}-2ax+1=0$有两个相等的实数根,所以$(-2a)^{2}-4a=0$,解得$a_{1}=1$,$a_{2}=0$(舍去).所以该二次函数可化为$y=x^{2}-2x+1=(x - 1)^{2}$.所以该二次函数图像的顶点坐标为$(1,0)$.
(3) 若 $ A(a,y_{1}),B(a + 1,y_{2}),C(a + 2,y_{3}) $ 三点都在该函数图像上,且 $ y_{1}\lt y_{3}\lt y_{2} $,直接写出 $ a $ 的取值范围.$-\frac{1}{2}＜a＜0$

答案： （1）$(0,1)$　$(2,1)$ （2）由题意,得一元二次方程$ax^{2}-2ax+1=0$有两个相等的实数根,所以$(-2a)^{2}-4a=0$,解得$a_{1}=1$,$a_{2}=0$(舍去).所以该二次函数可化为$y=x^{2}-2x+1=(x - 1)^{2}$.所以该二次函数图像的顶点坐标为$(1,0)$. （3）$-\frac{1}{2}＜a＜0$