《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

21. (6分)新素养 运算能力(2025·江苏苏州模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB= 5,BC= 8,边BC上的高AH= 3,P是边BC上的动点,以CP的长为半径的⊙C与边AD交于E,F两点(点E在点F的左侧).
(1) 当⊙C经过点A时,求CP的长;
(2) 连接AP,CE,当AP//CE时,求⊙C的半径及弦EF的长.

答案：
(1)连接AC.因为AH⊥BC,所以∠AHB = ∠AHC = 90°.在Rt△ABH中,AB = 5,AH = 3,由勾股定理，得$BH=\sqrt{AB^2 - AH^2}=4$.因为四边形ABCD是平行四边形，且BC = 8,所以CD = AB = 5,AD = BC = 8,AD//BC.所以CH = BC - BH = 4.在Rt△ACH中,由勾股定理，得$AC=\sqrt{AH^2 + CH^2}=5$.所以当⊙C经过点A时,CP = AC = 5.
(2)由
(1),得AD//BC,AH = 3,CH = 4.当AP//CE时，四边形APCE是平行四边形.因为CP = CE,所以四边形APCE是菱形,所以AP = CP.设AP = CP = x,则PH = 4 - x.在Rt△APH中,由勾股定理,得AH² + PH² = AP²,所以$3^2+(4 - x)^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{8}$.所以$CP=\frac{25}{8}$,即⊙C的半径为$\frac{25}{8}$.过点C作CM⊥EF于点M,则CM = AH = 3,$ME = MF = \frac{1}{2}EF$.在Rt△CEM中,$CE = CP=\frac{25}{8}$,由勾股定理，得$ME=\sqrt{CE^2 - CM^2}=\frac{7}{8}$,所以$EF = 2ME=\frac{7}{4}$.

22. (6分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,PD恰好经过圆心O,连接PB.
(1) 若CD= 8,BE= 2,求⊙O的周长(结果保留π);
(2) 若∠P= ∠D,则E是AB的一个四等分点吗? 为什么?

答案：
(1)因为CD⊥AB,且AB是⊙O的直径,所以∠OED = 90°,$DE=\frac{1}{2}CD$.又CD = 8,所以DE = 4.设⊙O的半径为r,则OB = OD = r.又BE = 2,所以OE = OB - BE = r - 2.在Rt△OED中,由勾股定理,得OD² = OE² + DE²,所以$r^2=(r - 2)^2+4^2$,解得r = 5.则⊙O的周长为$2\pi r = 10\pi$.
(2)若∠P = ∠D,则E是AB的一个四等分点.理由如下:因为CD⊥AB,所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$.因为∠P = ∠D,所以$\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{BD}$,即$\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$.所以∠BOD = 180°×$\frac{1}{3}$ = 60°.连接BD.因为OB = OD,所以△BOD是等边三角形.所以OD = BD.所以$BE = OE=\frac{1}{2}OB$.因为OA = OB,OA + OB = AB,所以$BE=\frac{1}{4}AB$,即E是AB的一个四等分点.

23. (6分)如图,在△ABC中,AB= AC,以AB为直径作⊙O,AC与⊙O交于点D,BC与⊙O交于点E,过点C作CF//AB,且CF= CD,连接BF.
(1) 求证:直线BF是⊙O的切线;
(2) 若∠BAC= 45°,AD= 4,求图中阴影部分的面积.

答案：
(1)连接BD.因为AB = AC,所以∠ABC = ∠ACB.又AB//CF,所以∠ABF + ∠F = 180°,∠ABC = ∠BCF,即∠ACB = ∠BCF.又CD = CF,CB = CB,所以△BCD≌△BCF (SAS).所以∠BDC = ∠F.又AB为⊙O的直径，所以∠ADB = 90°.又∠ADB + ∠BDC = 180°,所以∠BDC = 180° - ∠ADB = 90°,即∠F = 90°.所以∠ABF = 90°,即AB⊥BF.所以直线BF是⊙O的切线.
(2)连接AE,OE,BD,设OE交BD于点H.因为AB是⊙O的直径，所以∠AEB = 90°,即AE⊥BC.又AB = AC,所以BE = CE.又OA = OB,所以OE是△ABC的中位线，即OE//AC.所以∠BOE = ∠BAC,∠BHO = ∠ADB.由
(1),得∠ADB = 90°,且∠BAC = 45°,所以∠BHO = 90°,∠BOE = 45°.又∠BOE + ∠OBH = 90°,所以∠OBH = 45°,即∠OBH = ∠BOE.所以OH = BH.同理,得BD = AD.在Rt△ABD中,AD = 4,由勾股定理,得AB² = AD² + BD²,所以$AB=\sqrt{2}AD = 4\sqrt{2}$.所以$OB = OE=\frac{1}{2}AB = 2\sqrt{2}$.在Rt△BOH中,由勾股定理，得OH² + BH² = OB²,所以$BH=\frac{\sqrt{2}}{2}OB = 2$.所以$S_{阴影}=S_{扇形OBE}-S_{\triangle BOE}=\frac{45\pi×(2\sqrt{2})^2}{360}-\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2=\pi - 2\sqrt{2}$.