《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

24. (9 分)已知二次函数 $ y _ { 1 } = a x ^ { 2 } + b x + c $,$ y _ { 1 } $ 与 $ x $ 的部分对应值如下表:
| $ x $ | …$ $ | $ - 2 $ | $ - 1 $ | 0 | 1 | …$ $ | 6 | …$ $ |
| $ y _ { 1 } $ | …$ $ | $ - 7 $ | 0 | 5 | 8 | …$ $ | $ - 7 $ | …$ $ |
(1) 求该二次函数的表达式,并在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图像;
(2) 结合图像,当 $ y _ { 1 } ＞ 0 $ 时,$ x $ 的取值范围是______;
(3) 在该平面直角坐标系中画出函数 $ y _ { 2 } = \sqrt { a x ^ { 2 } + b x + c } $ 的图像.

答案：

(1)将(-1,0),(0,5),(1,8)三点分别代入$\begin{cases}a-b+c=0\\c=5\\a+b+c=8\end{cases}$中，解得$\begin{cases}a=-1\\b=4\\c=5\end{cases}$，所以该二次函数的表达式为y=-x²+4x+5. 
(2)-1＜x＜5
(3) 

25. (8 分)如图,四边形 $ A B C D $ 是正方形,以点 $ A $ 为圆心,$ A B $ 的长为半径画弧,交以 $ C D $ 的长为直径的半圆于点 $ E $,连接 $ A E $ 并延长,交 $ B C $ 于点 $ F $.
(1) 判断直线 $ A E $ 与半圆之间的位置关系,并说明理由;
(2) 若 $ A B = 6 $,求 $ C F $ 的长.

答案：
(1)直线AE与半圆相切.理由如下:取CD的中点O,连接OE,OA.由题意，得OC=OD=OE,AD=AE.又AO=AO,所以△AOD≌△AOE(SSS).所以∠ADO=∠AEO.因为四边形ABCD是正方形,所以∠ADO=90°,即∠AEO=90°,所以AE⊥OE.又OE为半圆的半径，所以直线AE与半圆相切.
(2)由
(1),得OE=OC,OE⊥AE,所以∠OEF=90°.因为四边形ABCD是正方形，且AB=6,所以BC=AB=6,∠OCF=∠ABF=90°,即∠OEF=∠OCF=90°.连接OF.因为OF=OF,所以Rt△OEF≌Rt△OCF(HL).所以EF=CF.设CF=x,则EF=x,BF=BC−CF=6−x.由题意,得AE=AB,所以AE=6,即AF=AE+EF=6+x.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB²+BF²=AF²,所以6²+(6−x)²=(6+x)²,解得x=$\frac{3}{2}$.则CF的长为$\frac{3}{2}$.