《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

11. 已知k是整数,且$k＜5$.若$\triangle ABC$的三边长均是关于x的方程$x^{2}-3\sqrt {k}x+8= 0$的解,则$\triangle ABC$的周长是6或10或12.

答案： 6或10或12

12. 新素养 应用意识 若关于x的方程$x^{2}+2x-m^{2}-m= 0$(m为正整数)的两根分别记为$α_{m},β_{m}$,如:当$m= 1$时,方程的两根记为$α_{1},β_{1}$,则$\frac {1}{α_{1}}+\frac {1}{β_{1}}+\frac {1}{α_{2}}+\frac {1}{β_{2}}+... +\frac {1}{α_{2025}}+\frac {1}{β_{2025}}= $$\frac {2025}{1013}$.

答案： $\frac {2025}{1013}$ 解析:由根与系数的关系,得$α_{m}+β_{m}=-2$,$α_{m}\cdot β_{m}=-m^{2}-m=-m(m+1)$,所以$\frac {1}{α_{m}}+\frac {1}{β_{m}}=\frac {α_{m}+β_{m}}{α_{m}\cdot β_{m}}=\frac {2}{m(m+1)}$.所以$\frac {1}{α_{1}}+\frac {1}{β_{1}}+\frac {1}{α_{2}}+\frac {1}{β_{2}}+... +\frac {1}{α_{2025}}+\frac {1}{β_{2025}}=\frac {2}{1×2}+\frac {2}{2×3}+... +\frac {2}{2025×2026}=2×(1-\frac {1}{2}+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}+... +\frac {1}{2025}-\frac {1}{2026})=2×(1-\frac {1}{2026})=\frac {2025}{1013}$.

13. (8分)解下列方程:
(1) (2024·山东滨州)$x^{2}-4x= 0;$
(2) $(x-3)^{2}= 4(2x+1)^{2};$
(3) (2024·安徽)$x^{2}-2x= 3;$
(4) $x^{2}+7= -6x.$

答案： $(1)$ 解方程$x^{2}-4x = 0$
解：对$x^{2}-4x = 0$提取公因式$x$，得到$x(x - 4)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x = 0$或$x - 4 = 0$。
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=4$。
$(2)$ 解方程$(x - 3)^{2}=4(2x + 1)^{2}$
解：移项可得$(x - 3)^{2}-4(2x + 1)^{2}=0$。
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，其中$a=x - 3$，$b = 2(2x + 1)$，则$(x - 3)^{2}-[2(2x + 1)]^{2}=0$，即$[(x - 3)+2(2x + 1)][(x - 3)-2(2x + 1)]=0$。
化简$(x - 3)+2(2x + 1)$：
$\begin{aligned}(x - 3)+2(2x + 1)&=x - 3 + 4x + 2\\&=5x - 1\end{aligned}$
化简$(x - 3)-2(2x + 1)$：
$\begin{aligned}(x - 3)-2(2x + 1)&=x - 3 - 4x - 2\\&=-3x - 5\end{aligned}$
所以$(5x - 1)(-3x - 5)=0$。
则$5x - 1 = 0$或$-3x - 5 = 0$。
当$5x - 1 = 0$时，$5x=1$，解得$x_{1}=\frac{1}{5}$；
当$-3x - 5 = 0$时，$-3x=5$，解得$x_{2}=-\frac{5}{3}$。
$(3)$ 解方程$x^{2}-2x = 3$
解：移项得$x^{2}-2x - 3 = 0$。
因式分解，根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a = 1$，$b=-3$，则$(x - 3)(x + 1)=0$。
所以$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$。
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。
$(4)$ 解方程$x^{2}+7=-6x$
解：移项得$x^{2}+6x + 7 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = 6$，$c = 7$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=6^{2}-4×1×7=36 - 28 = 8$。
则$x=\frac{-6\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-6\pm2\sqrt{2}}{2}=-3\pm\sqrt{2}$。
所以$x_{1}=-3+\sqrt{2}$，$x_{2}=-3-\sqrt{2}$。
综上，$(1)$ $x_{1}=0$，$x_{2}=4$；$(2)$ $x_{1}=\frac{1}{5}$，$x_{2}=-\frac{5}{3}$；$(3)$ $x_{1}=3$，$x_{2}=-1$；$(4)$ $x_{1}=-3+\sqrt{2}$，$x_{2}=-3-\sqrt{2}$。

14. (10分)(2025·江苏镇江期末)已知a是方程$x^{2}-2x-4= 0$的一个实数根,求代数式$(a^{2}-2a)(a-\frac {4}{a}-1)$的值.

答案： 由题意,得$a^{2}-2a-4=0$,$a≠0$,所以$a^{2}-2a=4$,$a-\frac {4}{a}=2$.则原式$=4×(2-1)=4$.

15. (10分)(2024·广东广州)已知关于x的方程$x^{2}-2x+4-m= 0$有两个不相等的实数根.
(1) 求m的取值范围;
(2) 化简:$\frac {1-m^{2}}{|m-3|}÷\frac {m-1}{2}\cdot \frac {m-3}{m+1}.$

答案：
(1) 由题意,得$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4(4-m)＞0$,解得m＞3.则m的取值范围为m＞3.
(2) 由
(1),得m的取值范围为m＞3,则$|m-3|=m-3$.所以原式$=\frac {(1-m)(1+m)}{m-3}\cdot \frac {2}{m-1}\cdot \frac {m-3}{m+1}=-2$.