《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

15. (10分)如图,在⊙O中,B是⊙O上一点,∠ABC= 120°,弦AC= 2√{3},弦BM平分∠ABC交AC于点D,连接MA,MC.
(1) 求⊙O的半径;
(2) 求证:AB+BC= BM.

答案：

(1)如图，连接OA,OC，过点O作$OH⊥AC$于点H,则$∠AHO=90^{\circ}$.所以$∠AOH+∠OAH=90^{\circ}$.因为OA=OC,$AC=2\sqrt{3}$,所以$∠AOH=\frac{1}{2}∠AOC$,$AH=\frac{1}{2}AC=\sqrt{3}$.因为四边形ABCM是$\odot O$的内接四边形，所以$∠ABC+∠AMC=180^{\circ}$.又$∠ABC=120^{\circ}$,所以$∠AMC=180^{\circ}-∠ABC=60^{\circ}$.所以$∠AOC=2∠AMC=120^{\circ}$.所以$∠AOH=60^{\circ}$.所以$∠OAH=90^{\circ}-∠AOH=30^{\circ}$.所以$OH=\frac{1}{2}OA$.在$Rt\triangle AOH$中，由勾股定理，得$OA^{2}=OH^{2}+AH^{2}$,所以$OA^{2}=\frac{1}{4}OA^{2}+3$,解得OA=2(负值已舍去).则$\odot O$的半径为2.
(2)如图,在BM上截取BE=BC,连接CE.因为$∠ABC=120^{\circ}$,BM平分$∠ABC$,所以$∠ABM=∠CBM=\frac{1}{2}∠ABC=60^{\circ}$.所以$∠ACM=∠ABM=60^{\circ}$,$\triangle EBC$是等边三角形.所以CE=BC=BE,$∠BCE=60^{\circ}$.所以$∠BCA+∠DCE=60^{\circ}$.因为$∠ACM=∠ECM+∠DCE=60^{\circ}$,所以$∠ECM=∠BCA$.又$∠CAB=∠CME$,所以$\triangle ACB\cong \triangle MCE(AAS)$.所以AB=ME.因为ME+BE=BM,所以AB+BC=BM.

16. (10分)如图,以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连接BD.
(1) 判断△BDE的形状,并证明你的结论;
(2) 若AB= 10,BE= 2√{10},求BC的长.

答案：
(1)$\triangle BDE$是等腰直角三角形.证明如下:因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ACB=∠ADB=90^{\circ}$.又AE平分$∠BAC$,BE平分$∠ABC$,所以$∠BAE=∠CAE$,$∠ABE=∠CBE$.又$∠CAE=∠CBD$,所以$∠CBD=∠BAE$.又$∠DBE=∠CBD+∠CBE$,$∠DEB=∠BAE+∠ABE$,所以$∠DBE=∠DEB$,即DB=DE.所以$\triangle BDE$是等腰直角三角形.
(2)由
(1),得BD=DE,$∠ACB=∠ADB=90^{\circ}$.在$Rt\triangle BDE$中,由勾股定理，得$BE=\sqrt{BD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{2}BD$.又$BE=2\sqrt{10}$,所以$BD=2\sqrt{5}$.延长AC,BD相交于点F.因为AE平分$∠BAC$,所以$∠BAD=∠FAD$.又$∠ADB+∠ADF=180^{\circ}$,所以$∠ADF=180^{\circ}-∠ADB=90^{\circ}$,即$∠ADF=∠ADB$.又AD=AD,所以$\triangle ADB\cong \triangle ADF(ASA)$.所以BD=FD,AB=AF,即$BF=2BD=4\sqrt{5}$.又AB=10,所以AF=10.设AC=x,则CF=AF - AC=10 - x.同理,得$∠BCF=90^{\circ}$.由勾股定理，得$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=BF^{2}-CF^{2}$,所以$10^{2}-x^{2}=(4\sqrt{5})^{2}-(10 - x)^{2}$,解得x=6,即AC=6.所以$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=8$.则BC的长为8.

17. (12分)新趋势 推导探究 (2025·江苏扬州期末)“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动:
(1) 如图①,A,B,C三点在⊙O上,点D在⊙O外部,线段AD,CD与⊙O分别交于E,F两点,试猜想∠B+∠D______180°(填“＞”“＜”或“=”),并证明你的猜想;
(2) 如图②,A,B,C三点在⊙O上,点D在⊙O内部,此时(1)中的猜想还成立吗? 若成立,请予以证明;若不成立,请写出你的猜想并予以证明;
(3) 如图③,在四边形ABCD中,对角线BD的长为6,∠A= 30°,∠C= 150°,则四边形ABCD面积的最大值是______.

答案：

(1)＜　证明如下:连接CE.因为四边形ABCE为$\odot O$的内接四边形，所以$∠B+∠AEC=180^{\circ}$.因为$∠AEC=∠D+∠DCE$,所以$∠AEC＞∠D$,即$∠B+∠D＜180^{\circ}$.
(2)此时
(1)中的猜想不成立，正确结论为$∠B+∠ADC＞180^{\circ}$.证明如下:延长AD交$\odot O$于点E，连接CE，则四边形ABCE是$\odot O$的内接四边形.所以$∠B+∠E=180^{\circ}$.因为$∠ADC=∠E+∠DCE$,所以$∠ADC＞∠E$,即$∠B+∠ADC＞180^{\circ}$.
(3)36　解析:因为$∠BAD=30^{\circ}$,$∠BCD=150^{\circ}$,所以$∠BAD+∠BCD=180^{\circ}$.所以四边形ABCD四点共圆.如图①，过点A作$AM⊥BD$于点M,过点C作$CN⊥BD$于点N,则四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}BD\cdot AM+\frac{1}{2}BD\cdot CN=\frac{1}{2}BD\cdot (AM+CN)$.所以当A,M,N,C四点共线且AC为$\odot O$的直径时,AM + CN的值最大,如图②.又BD=6,为定值,所以此时四边形ABCD的面积最大.连接OB，OD.因为$∠BAD=30^{\circ}$,所以$∠BOD=2∠BAD=60^{\circ}$.又OB=OD,所以$\triangle BDO$为等边三角形.所以OB=OD=BD=6.所以AC=2OB=12.则四边形ABCD面积的最大值为$\frac{1}{2}BD\cdot AC=36$.