《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

28. (10分)如图,在平面直角坐标系中,$Rt\triangle AOB的两直角边OA$,$OB分别在x$轴、$y$轴的正半轴上($OA＜OB$),且$OA$,$OB的长分别是一元二次方程x^{2}-14x + 48 = 0$的两个根,线段$AB的垂直平分线CD交AB于点C$,交$x轴于点D$,$P是直线CD$上一个动点,$Q是直线AB$上一个动点.
(1)求$A$,$B$两点的坐标;
(2)求直线$CD$的函数表达式;
(3)在坐标平面内是否存在点$M$,使以$C$,$P$,$Q$,$M$四点为顶点的四边形是正方形,且该正方形的边长等于$\frac{1}{2}AB$的长?若存在,请直接写出点$M$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)解方程$x^{2}-14x+48=0$,得$x_{1}=6,x_{2}=8$.因为 OA,OB 分别在 x 轴,y 轴的正半轴上,$OA＜OB$,所以$OA=6,OB=8$,即点 A 的坐标为(6,0),点 B 的坐标为(0,8).
(2)连接 BD.因为 CD 垂直平分 AB,所以$AD=BD$,C 为 AB 的中点.由
(1),得点 A 的坐标为(6,0),点 B 的坐标为(0,8),所以点 C 的坐标为(3,4).设点 D 的坐标为$(t,0)$,则$AD^{2}=(6-t)^{2},BD=(0-t)^{2}+(8-0)^{2}=t^{2}+64$.所以$(6-t)^{2}=t^{2}+64$,解得$t=-\frac{7}{3}$.所以点 D 的坐标为$(-\frac{7}{3},0)$.设直线 CD 的函数表达式为$y=kx+b$.将 C(3,4),$D(-\frac{7}{3},0)$分别代入,得$\left\{\begin{array}{l} 3k+b=4\\ -\frac{7}{3}k+b=0\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l} k=\frac{3}{4}\\ b=\frac{7}{4}\end{array}\right.$.则直线 CD 的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$.
(3)存在.点 M 的坐标为(4,11)或(-4,5)或(2,-3)或(10,3).