《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

22. (6分)已知二次函数$y= x^{2}-bx+3$的图像与x轴交于$A(1,0)$,B两点,与y轴交于点C.
(1) 求b的值及点B的坐标;
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像;
(3) 若直线$l:y= mx+n$(m,n为常数,且$m≠0$)经过B,C两点,则关于x的不等式$mx+n＞x^{2}-bx+3$的解集为______.

答案：

(1)由题意，将A(1,0)代入y=x² - bx + 3中，得1 - b + 3=0，解得b=4。所以二次函数的表达式为y=x² - 4x + 3。令y=0，得x² - 4x + 3=0，解得x₁=1，x₂=3。所以点B的坐标为(3,0)。
(2) 
(3)0＜x＜3

23. (8分)如图,AB是$\odot O$的直径,C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,弦CD交AB于点E,过点D的直线交AB的延长线于点F,且$FE= FD$.
(1) 求证:直线FD是$\odot O$的切线;
(2) 连接AC.若$AC= 4\sqrt {2}$,$∠F= 30^{\circ }$,求图中阴影部分的面积(结果保留π).

答案： 1. （1）证明：
连接$OD$，$OC$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$OC\perp AB$，即$\angle COE = 90^{\circ}$。
因为$OC = OD$，所以$\angle ODC=\angle OCD$。
又因为$FE = FD$，所以$\angle FED=\angle FDE$。
而$\angle FED=\angle CEO$，所以$\angle FDE=\angle CEO$。
在$\triangle OCE$中，$\angle CEO+\angle OCD = 90^{\circ}$，所以$\angle FDE+\angle ODC = 90^{\circ}$，即$\angle ODF = 90^{\circ}$。
因为$OD$是$\odot O$的半径，所以直线$FD$是$\odot O$的切线。
2. （2）解：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
又因为$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$AC = BC$。
已知$AC = 4\sqrt{2}$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$（因为$AC = BC$），可得$AB=\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}+(4\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{32 + 32}=\sqrt{64}=8$，则$OA=OD = 4$。
因为$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle ODF = 90^{\circ}$，所以$OF = 2OD=8$。
根据勾股定理$DF=\sqrt{OF^{2}-OD^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=\sqrt{64 - 16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
$S_{\triangle ODF}=\frac{1}{2}× OD× DF=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
$S_{扇形ODB}=\frac{60\pi×4^{2}}{360}=\frac{8\pi}{3}$（因为$\angle DOB = 60^{\circ}$，$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle ODF = 90^{\circ}$，所以$\angle DOB = 60^{\circ}$）。
所以$S_{阴影}=S_{\triangle ODF}-S_{扇形ODB}=8\sqrt{3}-\frac{8\pi}{3}$。
综上，（1）得证；（2）阴影部分面积为$8\sqrt{3}-\frac{8\pi}{3}$。