《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

23. (8分)新素养推理能力设$\overline {x}是x_{1},x_{2},...,x_{n}$的平均数,即$\overline {x}= \frac {x_{1}+x_{2}+... +x_{n}}{n}$,则方差为$s^{2}= \frac {1}{n}[(x_{1}-\overline {x})^{2}+(x_{2}-\overline {x})^{2}+... +(x_{n}-\overline {x})^{2}]$,它反映了这组数据的波动性.
(1) 求证:对任意实数a,数据$x_{1}-a,x_{2}-a,...,x_{n}-a与x_{1},x_{2},...,x_{n}$的方差相同;
(2) 求证:$s^{2}= \frac {1}{n}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+... +x_{n}^{2})-\overline {x}^{2}$;
(3) 以下是某校九(1)班10位同学的身高(单位:cm):169,172,163,173,175,168,170,167,170,171,计算这组数据的方差.

答案：
(1) 设$x_1-a,x_2-a,\cdots,x_n-a$的平均数为$\overline{x}'$,方差为$s'^2$,且$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$,$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2]$,所以$\overline{x}'=\frac{1}{n}[(x_1-a)+(x_2-a)+\cdots+(x_n-a)]=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}-a=\overline{x}-a$.所以$s'^2=\frac{1}{n}\{[(x_1-a)-\overline{x}']^2+[(x_2-a)-\overline{x}']^2+\cdots+[(x_n-a)-\overline{x}']^2\}=\frac{1}{n}\{[(x_1-a)-(\overline{x}-a)]^2+[(x_2-a)-(\overline{x}-a)]^2+\cdots+[(x_n-a)-(\overline{x}-a)]^2\}=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2]=s^2$.所以对任意实数a,数据$x_1-a,x_2-a,\cdots,x_n-a$与$x_1,x_2,\cdots,x_n$的方差相同.
(2) 由
(1),得$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots+(x_n-\overline{x})^2]$,所以$s^2=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-2(x_1+x_2+\cdots+x_n)\overline{x}+n\overline{x}^2]=\frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-2\cdot\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\cdot\overline{x}+\overline{x}^2=\frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-2\overline{x}^2+\overline{x}^2=\frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-\overline{x}^2$.
(3) 根据
(1)的结论,将这10个数据都减去170,得-1,2,-7,3,5,-2,0,-3,0,1,则$\overline{x}=\frac{1}{10}×(-1+2-7+3+5-2+0-3+0+1)=-0.2$(cm).由
(2),得$s^2=\frac{1}{10}×[(-1)^2+2^2+(-7)^2+3^2+5^2+(-2)^2+0+(-3)^2+0+1^2]-(-0.2)^2=10.16$(cm²).则这组数据的方差为10.16cm².

24. (9分)(2024·甘肃临夏)环球网消息称:近年来的电动自行车火灾事故80%都是充电时发生的,超过一半的电动自行车火灾发生在夜间充电的过程中.为了规避风险,某校政教处对学生进行规范充电培训活动,并对培训效果按10分制进行检测评分.为了了解这次培训的效果,现从各年级随机抽取男、女生各10名的检测成绩作为样本进行整理,并绘制成如下不完整的统计图表:
|成绩/分|6|7|8|9|10|
|人数|1|2|m|3|n|
注:10名女生检测成绩的中位数为8.5分.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1) 样本中男生检测成绩为10分的学生数是2,众数为8分;
(2) 女生检测成绩统计表中的m=2,n=2;
(3) 已知该校有男生545人,女生360人,若认定检测成绩不低于9分为“优秀”,估计全校检测成绩达到“优秀”的人数.
由(2),得n=2.因为545×(1-50%-10%)+360×$\frac{3+2}{10}$=398,所以估计全校检测成绩达到“优秀”的人数为398.

答案：
(1) 2 8
(2) 2 2
(3) 由
(2),得n=2.因为545×(1-50%-10%)+360×$\frac{3+2}{10}$=398,所以估计全校检测成绩达到“优秀”的人数为398.