《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

28. (10 分)新趋势 情境素材 解题时,最容易想到的方法未必是最简单的,你可以再想一想,尽量优化解法.
例题呈现:
已知关于 x 的方程$a(x+m)^{2}+b= 0的解是x_{1}= 1,x_{2}= -2$(a,m,b 均为常数,$a≠0$),则方程$a(x+m+2)^{2}+b= 0$的解是______.
解法探讨:
(1) 小明的思路如图所示,请你按照他的思路解决这个问题;
小明的思路
第 1 步:把 1,-2 分别代入第 1 个方程中求出 m 的值;
第 2 步:把 m 的值代入第 1 个方程中求出$-\frac{b}{a}$的值;
第 3 步:解第 2 个方程.
由题意,把$x_1=1$,$x_2=-2$分别代入方程$a(x+m)^2+b=0$中,得$\begin{cases} a(m+1)^2+b=0, \\ a(m-2)^2+b=0, \end{cases}$所以$a(m+1)^2=a(m-2)^2$.又 a≠0,所以$(m+1)^2=(m-2)^2$,解得$m=\frac{1}{2}$.再把$m=\frac{1}{2}$代入方程$a(x+m)^2+b=0$中,得$a\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+b=0$,则$-\frac{b}{a}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$.最后把$m=\frac{1}{2}$,$-\frac{b}{a}=\frac{9}{4}$代入方程$a(x+m+2)^2+b=0$中,得$\left(x+\frac{5}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$,解得$x_3=-1$,$x_4=-4$.则方程的解为x=-1或-4.
(2) 小红仔细观察两个方程,她把第二个方程中的“$x+2$”看作是第一个方程中的“x”,则“$x+2$”的值为______,从而更简单地解决了问题;
1或-2
策略应用:
(3) 小明和小红认真思考后认为,利用方程结构的特点,无须计算“根的判别式”就能轻松解决与方程的根有关的问题,请用他们说的方法完成下题.
已知方程$(a^{2}-2b^{2})x^{2}+(2b^{2}-2c^{2})x+2c^{2}-a^{2}= 0$有两个相等的实数根,其中常数 a,b,c 是$△ABC$三边的长,判断$△ABC$的形状.
观察方程$(a^2-2b^2)x^2+(2b^2-2c^2)x+2c^2-a^2=0$,易得x=1是此方程的根.又原方程有两个相等的实数根,所以原方程可化为$m(x-1)^2=0$的形式,且m≠0.展开,得$mx^2-2mx+m=0$.所以$a^2-2b^2=2c^2-a^2$,即$a^2=b^2+c^2$.所以△ABC 是直角三角形.

答案：
(1)由题意,把$x_1=1$,$x_2=-2$分别代入方程$a(x+m)^2+b=0$中,得$\begin{cases} a(m+1)^2+b=0, \\ a(m-2)^2+b=0, \end{cases}$所以$a(m+1)^2=a(m-2)^2$.又 a≠0,所以$(m+1)^2=(m-2)^2$,解得$m=\frac{1}{2}$.再把$m=\frac{1}{2}$代入方程$a(x+m)^2+b=0$中,得$a\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+b=0$,则$-\frac{b}{a}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$.最后把$m=\frac{1}{2}$,$-\frac{b}{a}=\frac{9}{4}$代入方程$a(x+m+2)^2+b=0$中,得$\left(x+\frac{5}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$,解得$x_3=-1$,$x_4=-4$.则方程的解为x=-1或-4.
(2)1或-2
(3)观察方程$(a^2-2b^2)x^2+(2b^2-2c^2)x+2c^2-a^2=0$,易得x=1是此方程的根.又原方程有两个相等的实数根,所以原方程可化为$m(x-1)^2=0$的形式,且m≠0.展开,得$mx^2-2mx+m=0$.所以$a^2-2b^2=2c^2-a^2$,即$a^2=b^2+c^2$.所以△ABC 是直角三角形.