《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

8. 如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,P为⌢DE上一点(点P与D,E两点不重合),连接PC,PD,过点D作DG⊥PC,垂足为G,则∠PDG的度数为54°.

答案： 54

9. 亮点原创如图,边长为2的正八边形ABCDEFGH的中心与原点O重合,AB//x轴,连接OB,P为OB的中点,将正八边形ABCDEFGH绕原点O按逆时针方向旋转2025次,每次旋转45°,则此时点P的坐标为(−$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$).

答案： (−$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$)

10. 新素养推理能力如图,在△ABC中,∠ABC= 110°,AB= BC= 6cm,将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到△DBE,过点C作CF⊥BE于点F,当E,B,A三点首次在同一条直线上时停止旋转.在这一旋转过程中,点F所经过的路径长为$\frac{7π}{3}$cm.

答案： $\frac{7π}{3}$

11. 如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,连接OA,分别以A,O两点为圆心,大于1/2OA的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交⊙O于E,F两点,连接AE.若OA= 1,则由⌢BE,AE,AB所围成的阴影部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{π}{12}$−$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{π}{12}$−$\frac{1}{2}$

12. 如图,分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心,边长为半径作弧,三段弧所围成的图形是一个曲边三角形.若⊙O是△ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为______.

答案：
$\frac{5π}{3}$−2$\sqrt{3}$　解析:如图，连接OA,OB，过点O 作OH⊥BC于点H.因为△ABC是边长为2 的等边三角形,所以AB=BC=AC=2,∠ABC=∠ACB=60°.因为⊙O是△ABC的内切圆，所以OH为⊙O的半径，∠OBH=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,OA=OB,A,O,H三点共线.所以OB=2OH,AH⊥BC,即BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=1.在Rt△OBH中,由勾股定理，得OB²=OH²+BH²,即(2OH)²=OH²+BH²,解得OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.所以OA=OB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,即AH=$\sqrt{3}$.令S扇形CAB−S△ABC=S₀,所以S阴影=3S₀+S△ABC−S⊙O=3(S扇形CAB−S△ABC)+S△ABC−S⊙O=3S扇形CAB−2S△ABC−S⊙O=3×$\frac{60π×2²}{360}$−2×$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$−π×($\frac{\sqrt{3}}{3}$)²=$\frac{5π}{3}$−2$\sqrt{3}$

13. (10分)在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫做格点),且绕点O顺时针旋转90°后得到$△A_1B_1C_1.$
(1) 画出$△A_1B_1C_1,$并求点A旋转到点$A_1$所经过的路径长(结果保留π);
(2) 求线段OA扫过区域的面积;
(3) 若将扇形$OAA_1$作为一个圆锥的侧面,求该圆锥的底面圆半径.

答案：
（1）如图,△A₁B₁C₁即为所作.连接OA,OA₁,作出⌢AA₁.由勾股定理,得OA=$\sqrt{2²+3²}$=$\sqrt{13}$.又∠AOA₁=90°,所以点A旋转到点A₁所经过的路径长为$\frac{90π×\sqrt{13}}{180}$=$\frac{\sqrt{13}π}{2}$.
（2）由（1）,得OA=$\sqrt{13}$,∠AOA₁=90°,且线段OA扫过的区域为扇形OAA₁,则线段OA扫过区域的面积为$\frac{90π×(\sqrt{13})²}{360}$=$\frac{13π}{4}$.
（3）设该圆锥的底面圆半径为r.由（1）,得点A旋转到点A₁所经过的路径长为$\frac{\sqrt{13}π}{2}$,所以⌢AA₁的长为$\frac{\sqrt{13}π}{2}$.则2πr=$\frac{\sqrt{13}π}{2}$,解得r=$\frac{\sqrt{13}}{4}$.则该圆锥的底面圆半径为$\frac{\sqrt{13}}{4}$.

14. (10分)(2023·山东临沂)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BD是⊙O的直径,AB= AC,AE//BC,E为BD的延长线与AE的交点.
(1) 求证:直线AE是⊙O的切线;
(2) 若∠ABC= 75°,BC= 2,求⌢CD的长.

答案： （1）过点A作AF⊥BC于点F.因为AB=AC,所以AF垂直平分BC.又⊙O是△ABC的外接圆,所以点O在BC的垂直平分线上.所以点O在AF上.又AE//BC,所以AF⊥AE,即OA⊥AE.又OA为⊙O的半径,所以直线AE是⊙O的切线.
（2）连接OC.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.又∠ABC=75°,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,所以∠BAC=180°−2∠ABC=30°,即∠BOC=60°.所以∠COD=180°−∠BOC=120°.又OB=OC,所以△OBC是等边三角形,即BC=OB.又BC=2,所以OB=2.所以⌢CD的长为$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4π}{3}$.