《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

7. 如图,A,B,C,D四点都在$\odot O$上,B是$\widehat {AC}$的中点,过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点E.若$∠ADC= 64^{\circ }$,则$∠AEC$的度数为$84^{\circ}$.

答案： $84^{\circ}$

8. (2023·湖北仙桃)如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 70^{\circ },△ABC的内切圆\odot O$与AB,BC分别相切于D,E两点,连接DE,AO,AO的延长线交DE于点F,则$∠AFD$的度数为____$35^{\circ}$.

答案： $35^{\circ}$

9. (2025·江苏南京模拟)如图,在$\odot O$中,半径OC垂直弦AB于点D,M为AD的中点,N为$\widehat {AC}$上的点,且$MN// CD$.若$CD= 5,MN= 4$,则$\odot O$的半径为____10.5.

答案： 10.5

10. 新素养 几何直观(2025·江苏宿迁期末)如图,在每个小正方形的边长均为1的网格中,一段圆弧经过格点A,B,C,格点C,D的连线交$\widehat {BC}$于点E,则$\widehat {EC}$的长为____$\frac{\sqrt{13}π}{4}$.

答案： $\frac{\sqrt{13}π}{4}$

11. 亮点原创·如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= 10,AC= 12$,D是直线AC上一动点(与点A不重合),连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,连接CE,则CE的长的最大值是____.

18

答案： 18

12. 如图,以面积为$20cm^{2}的Rt△ABC$的斜边AB为直径作$\odot O,∠ACB的平分线交\odot O$于点D.若$\frac {CD}{AB}= \frac {\sqrt {3}}{2}$,则$AC+BC= $____cm.

答案：
$4\sqrt{15}$　解析:如图,连接OC,OD,过点O作OM⊥CD于点M,过点C作CN⊥AB于点N,则∠COD = 2∠COM,∠OMC = ∠ONC = 90°,CM = $\frac{1}{2}CD$.又$\frac{CD}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,所以设$CD = \sqrt{3}a cm,AB = 2a cm(a ＞ 0)$,则$CM = \frac{\sqrt{3}}{2}a cm,OC = a cm$.在Rt△COM中,由勾股定理,得$OM = \sqrt{OC^{2}-CM^{2}} = \frac{a}{2}cm$,所以$OM = \frac{1}{2}OC$,即∠OCM = 30°.又∠OCM + ∠COM = 90°,所以∠COM = 90° - ∠OCM = 60°,即∠COD = 120°.又∠ACB = 90°,CD平分∠ACB,所以∠BCD = $\frac{1}{2}∠ACB = 45°$,即∠BOD = 2∠BCD = 90°.所以∠BOC = ∠COD - ∠BOD = 30°.所以$CN = \frac{1}{2}OC = \frac{a}{2}cm$.又$S_{△ABC} = 20cm^{2}$,所以$\frac{1}{2}CN\cdot AB = 20cm^{2}$,即$\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot2a = 20$,解得$a^{2} = 40$.又$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AC\cdot BC$,所以$AC\cdot BC = 40cm^{2}$.在Rt△ABC中,由勾股定理,得$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$,所以$AC^{2} + BC^{2} = 4a^{2}cm^{2} = 160cm^{2}$.又$(AC + BC)^{2} = AC^{2} + BC^{2} + 2AC\cdot BC$,所以$(AC + BC)^{2} = 240cm^{2}$,即$AC + BC = 4\sqrt{15}cm$(负值已舍去).

13. (10分)(2024·甘肃临夏)如图,直线l与$\odot O$相切于点D,AB为$\odot O$的直径,过点A作$AE⊥l$于点E,延长AB交直线l于点C,连接AD.
(1) 求证:AD平分$∠CAE$;
(2) 如果$BC= 1,DC= 3$,求$\odot O$的半径.

答案： （1）连接OD．因为直线l与⊙ O相切于点D，所以OD⊥l．又AE⊥l，所以OD//AE，即∠ODA=∠DAE．又OA=OD，所以∠ODA=∠OAD，则∠OAD=∠DAE，所以AD平分∠CAE．（2）设⊙O的半径为r，则OB=OD=r．又BC=１，所以OC=OB+BC=r+１．由（１）知OD⊥l，所以∠ODC=90°．在Rt△OCD中，CD=3，由勾股定理得OC²=OD² + CD²，则(r +１)²=r² +３²，解得r=4，即⊙O的半径为4．