《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

8. (2025·江苏宿迁期末)已知a,b,m,n为互不相等的实数,且$(a+m)(a+n)= 2,(b+m)(b+n)= 2$,则$ab-mn$的值为 (C)
A.4
B.1
C.-2
D.-1

答案： C

9. 若方程$(x-1)(x^{2}-2x+m)= 0$的三个根是一个三角形的三边长,则实数m的取值范围是 (C)
A.$0≤m≤1$
B.$m≥\frac {3}{4}$
C.$\frac {3}{4}＜m≤1$
D.$\frac {3}{4}≤m≤1$

答案： C 解析:对于方程$(x-1)(x^{2}-2x+m)=0$,当$x=1$时,原方程等于0,则$x=1$是原方程的一个根.又原方程有三个根,所以方程$x^{2}-2x+m=0$有两个实数根,即$b^{2}-4ac=4-4m\geqslant0$,解得$m\leqslant1$.设原方程的另两个根分别为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-2x+m=0$的两个实数根.由三角形的三边关系,得$x_{1}+x_{2}＞1$,$|x_{1}-x_{2}|＜1$,则$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}\cdot x_{2}＜1$.由根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=2＞1$,$x_{1}\cdot x_{2}=m$,所以$4-4m＜1$,解得$m＞\frac{3}{4}$.则$m$的取值范围是$\frac{3}{4}＜m\leqslant1$.

10. 如图,$△ABC$是边长为6cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC运动,点P运动的速度为1cm/s,点Q运动的速度为2cm/s,当点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动,则当$△PBQ的面积为\frac {9\sqrt {3}}{2}cm^{2}$时,运动的时间为 (D)
A.0.8s
B.1.6s
C.2.4s
D.3s

答案： D 解析:设当$\triangle PBQ$的面积为$\frac{9\sqrt{3}}{2}\ \text{cm}^{2}$时,运动的时间为$t\ \text{s}$.由题意,得$AB=BC=6\ \text{cm}$,$\angle B=60^{\circ}$,$BQ=2t\ \text{cm}$,$AP=t\ \text{cm}$,$t\leqslant6÷2=3$,则$BP=AB-AP=(6-t)\ \text{cm}$,$0\leqslant t\leqslant3$.过点$Q$作$QE\perp AB$,垂足为$E$,则$\angle BEQ=90^{\circ}$.所以$\angle B+\angle BQE=90^{\circ}$,即$\angle BQE=90^{\circ}-\angle B=30^{\circ}$.所以$BE=\frac{1}{2}BQ=t\ \text{cm}$.在$\text{Rt}\triangle BEQ$中,由勾股定理,得$QE=\sqrt{BQ^{2}-BE^{2}}=\sqrt{3}t\ \text{cm}$.因为$S_{\triangle PQB}=\frac{1}{2}BP\cdot QE$,所以$\frac{1}{2}(6-t)\cdot\sqrt{3}t=\frac{9\sqrt{3}}{2}$,解得$t_{1}=t_{2}=3$.则运动的时间为$3\ \text{s}$.

11. (2024·广东)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+c= 0$有两个相等的实数根,则$c=$1.

答案： 1

12. (2025·江苏无锡模拟)已知一元二次方程$x^{2}-4x-5= 0有两个实数根x_{1},x_{2}$,且直线l经过点$A(x_{1}+x_{2},0)和点B(0,x_{1}\cdot x_{2})$,则直线l不经过第二象限.

答案： 二

13. (2025·江苏南京期末)对于实数a,b定义运算“※”:$a※b= \left\{\begin{array}{l} a^{2}-ab(a＞b),\\ b^{a}(a≤b),\end{array} \right. 则满足x※2= \frac {1}{4}$的x的值为$-2$或$1+\frac{\sqrt{5}}{2}$.

答案： $-2$或$1+\frac{\sqrt{5}}{2}$

14. 新素养 运算能力 如图是2025年1月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出$3×3$个位置相邻的数(如:6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大的数与最小的数的积为192,则这9个数的和为____144.

答案： 144

15. 已知实数$m(m≠0)$满足$2m^{2}+\frac {2}{m^{2}}-\frac {16}{m}+20= 16(m-1)$,则m的值为$2+\sqrt{3}$或$2-\sqrt{3}$.

答案： $2+\sqrt{3}$或$2-\sqrt{3}$

16. 亮点原创·若a,b都是整数,且关于x的一元二次方程$ax^{2}-bx+2025= 0$的两个不相等实数根都是质数,则$b-4a= $540.

答案： 540

17. 已知关于x的反比例函数$y= \frac {a+4}{x}$的图像如图所示,A,P是该图像上的两点,且关于原点成中心对称.在$△PAB$中,$PB// y$轴,$AB// x$轴,PB与AB相交于点B.若$△PAB$的面积大于12,则关于x的方程$(a-1)x^{2}-x+\frac {1}{4}= 0$的根的情况是____.

没有实数根

答案： 没有实数根 解析:由题意和反比例函数的性质,易得$S_{\triangle PAB}=2(a+4)$.又$\triangle PAB$的面积大于12,所以$2(a+4)＞12$,解得$a＞2$.所以原方程是一元二次方程,且该方程根的判别式为$(-1)^{2}-4×\frac{1}{4}(a-1)=2-a＜0$.则方程$(a-1)x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$没有实数根.

18. 若实数x,y,z满足$x+y+z= 5,xy+yz+zx= 3$,则z的最大值是$\frac{13}{3}$.

答案： $\frac{13}{3}$ 解析:由题意,得$x+y=5-z$,$xy=3-z(x+y)=3-z(5-z)=z^{2}-5z+3$.由根与系数的关系,可将$x,y$看作是关于$X$的方程$X^{2}-(5-z)X+z^{2}-5z+3=0$ 的两根.所以$b^{2}-4ac=(z-5)^{2}-4(z^{2}-5z+3)=-3z^{2}+10z+13\geqslant0$,即$(3z-13)(z+1)\leqslant0$.所以$3z-13\geqslant0$,$z+1\leqslant0$或$3z-13\leqslant0$,$z+1\geqslant0$.当$3z-13\geqslant0$,$z+1\leqslant0$时,解得$z\geqslant\frac{13}{3}$且$z\leqslant-1$,此时$z$不存在,不符合题意;当$3z-13\leqslant0$,$z+1\geqslant0$时,解得$-1\leqslant z\leqslant\frac{13}{3}$,符合题意.则$z$的最大值是$\frac{13}{3}$.