《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

22. (6分)(2024·内蒙古呼伦贝尔)如图,在$\triangle ABC$中,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,$DE⊥AC$,垂足为E,$\odot O$的两条弦FB,FD相交于点F,$∠DAE= ∠BFD$.
(1) 求证:直线DE是$\odot O$的切线;
(2) 若$∠C= 30^{\circ },CD= 2\sqrt {3}$,求扇形OBD的面积.

答案：
(1) 连接 OD.因为$OA=OD$,所以$∠BAD=∠ODA$.又$∠BAD=∠BFD$,$∠DAE=∠BFD$,所以$∠BAD=∠DAE$,即$∠ODA=∠DAE$.所以$OD// AC$.又$DE⊥AC$,所以$DE⊥OD$.又 OD 是$\odot O$的半径,所以直线 DE 是$\odot O$的切线.
(2) 因为 AB 是$\odot O$的直径,所以$∠ADB=90^{\circ }$.又$∠ADB+∠ADC=180^{\circ }$,所以$∠ADC=180^{\circ }-∠ADB=90^{\circ }$,即$∠ADC=∠ADB$.由
(1),得$∠BAD=∠DAE$,所以$∠BAD=∠CAD$.又$AD=AD$,所以$\triangle BAD\cong \triangle CAD(ASA)$.所以$∠ABD=∠C$,$BD=CD$.又$∠C=30^{\circ }$,$CD=2\sqrt {3}$,所以$∠ABD=30^{\circ }$,$BD=2\sqrt {3}$,即$AB=2AD$.又$∠ABD+∠BAD=90^{\circ }$,所以$∠BAD=90^{\circ }-∠ABD=60^{\circ }$,即$∠BOD=2∠BAD=120^{\circ }$.在$Rt\triangle ABD$中,由勾股定理,得$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$,所以$4AD^{2}=AD^{2}+12$,解得$AD=2$(负值已舍去).则$AB=4$.所以$OB=OD=2$.所以扇形 OBD 的面积为$\frac {120π×2^{2}}{360}=\frac {4π}{3}$.

23. (6分)新素养 运算能力 如图,在$□ OABC$中,以点O为圆心,OA的长为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于点D.
(1) 求$\widehat {BD}$的度数;
(2) 已知点E在$\odot O$上,连接CE与$\odot O$交于点F.若$EF= AB$,求$∠OCE$的度数.

答案：

(1)如图,连接 OB.因为直线 BC 是$\odot O$的切线,所以$OB⊥BC$,即$∠OBC=90^{\circ }$.因为四边形 OABC 是平行四边形,所以$OA// BC$,$OC// AB$,$OC=AB$.所以$∠AOB=∠OBC=90^{\circ }$,$∠BOC=∠OBA$.因为$OA=OB$,所以$∠OAB=∠OBA$.又$∠OAB+∠OBA+∠AOB=180^{\circ }$,所以$∠OBA=\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠AOB)=45^{\circ }$.所以$∠BOC=45^{\circ }$,即$\widehat {BD}$的度数是$45^{\circ }$.
(2)如图,连接 OE,OF,过点 O 作$OH⊥EF$于点 H,则$∠OHE=∠OHC=90^{\circ }$.设$EH=t$,则$EF=2EH=2t$.由
(1),得$OC=AB$,$∠AOB=90^{\circ }$,且$EF=AB$,所以$OC=AB=EF=2t$,$\widehat {AB}=\widehat {EF}$.所以$∠AOB=∠EOF$,即$∠EOF=90^{\circ }$.又$OE=OF$,所以$\triangle EOF$是等腰直角三角形.所以$∠OEC=45^{\circ }$.所以$\triangle OEH$是等腰直角三角形.所以$OH=EH=t$.所以$OH=\frac {1}{2}OC$.所以$∠OCE=30^{\circ }$.

24. (8分)如图,已知$\odot O和\odot O$上一点A.
(1) 用无刻度的直尺和圆规作$\odot O$的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH(写出作法,保留作图痕迹);
(2) 在(1)的作图中,如果点E在弧AD上,连接DE.求证:DE是$\odot O$内接正十二边形的一边.

答案：

(1) 如图,作法如下:① 连接 AO 并延长,交$\odot O$于另一点 C;② 作 AC 的垂直平分线,交$\odot O$于 B,D 两点;③ 顺次连接 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 即为$\odot O$的内接正方形;④ 分别以 A,C 两点为圆心,OA 的长为半径作弧,交$\odot O$于 E,H,F,G 四点;⑤ 顺次连接 A,E,F,C,G,H 六点,六边形 AEFCGH 即为$\odot O$的内接正六边形.

(2) 如图,连接 OE,则$OE=OD$.由题意,得$∠AOD=\frac {360^{\circ }}{4}=90^{\circ }$,$∠AOE=\frac {360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$,所以$∠DOE=∠AOD-∠AOE=30^{\circ }$.又$\frac {360^{\circ }}{30^{\circ }}=12$,所以 DE 是$\odot O$内接正十二边形的一边.