《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

16. (12分)已知关于x的方程$x^{2}-(2k-1)x+k^{2}-2k+3= 0$有两个不相等的实数根.
(1) 求实数k的取值范围;
(2) 设方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,是否存在这样的实数k,使$|x_{1}|-|x_{2}|= \sqrt {5}$? 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) 由题意,得$b^{2}-4ac=[-(2k-1)]^{2}-4(k^{2}-2k+3)=4k-11＞0$,解得$k＞\frac {11}{4}$.则k的取值范围为$k＞\frac {11}{4}$.
(2) 存在.假设存在实数k,使$|x_{1}|-|x_{2}|=\sqrt {5}$.由根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=2k-1$,$x_{1}\cdot x_{2}=k^{2}-2k+3$.因为$|x_{1}|-|x_{2}|=\sqrt {5}$,所以$(|x_{1}|-|x_{2}|)^{2}=5$,即$x_{1}^{2}-2|x_{1}\cdot x_{2}|+x_{2}^{2}=5$.又$x_{1}\cdot x_{2}=k^{2}-2k+3=(k-1)^{2}+2＞0$,所以$x_{1}^{2}-2|x_{1}\cdot x_{2}|+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}+x_{2}^{2}$,即$x_{1}^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}+x_{2}^{2}=5$.所以$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}\cdot x_{2}=5$.所以$(2k-1)^{2}-4(k^{2}-2k+3)=5$.整理,得4k-11=5,解得k=4.由
(1),得k的取值范围为$k＞\frac {11}{4}$,且$4＞\frac {11}{4}$,所以存在这样的实数k,且k的值为4.

17. (12分)新趋势 情境素材 若p,q,m都为整数,且三次方程$x^{3}+px^{2}+qx+m= 0有整数解x= c$,则将$x= c$代入方程,得$c^{3}+pc^{2}+qc+m= 0$.移项,得$m= -c^{3}-pc^{2}-qc$,即$m= c(-c^{2}-pc-q)$.因为$-c^{2}-pc-q$与c及m都是整数,所以c是m的因数.上述过程说明:整系数方程$x^{3}+px^{2}+qx+m= 0$的整数解只能是m的因数.例如:方程$x^{3}+4x^{2}+3x-2= 0$中-2的因数为±1和±2,将它们分别代入方程$x^{3}+4x^{2}+3x-2= 0$进行验证,得$x= -2$是该方程的整数解,$x= -1,1,2$都不是该方程的整数解.
(1) 根据上面的学习,请你确定方程$x^{3}+x^{2}+5x+7= 0$的整数解只可能是哪几个整数?
(2) 方程$x^{3}-2x^{2}-4x+3= 0$是否有整数解? 若有,请求出其整数解;若没有,请说明理由.

答案：
(1) 如果方程$x^{3}+x^{2}+5x+7=0$有整数解,那么它的整数解只可能是7的因数.又7的因数只有1,-1,7,-7这四个数,所以该方程的整数解只可能是1,-1,7,-7.
(2) 方程$x^{3}-2x^{2}-4x+3=0$有整数解.由题意,得方程$x^{3}-2x^{2}-4x+3=0$的整数解只可能是3的因数,即1,-1,3,-3.将它们分别代入方程$x^{3}-2x^{2}-4x+3=0$进行验证,得x=3是该方程的整数解.