《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

9. 如图,正方形ABCD的边长为4,E为AB上的一点,将$\triangle BCE$沿CE折叠至$\triangle FCE$.若CF,CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的$\odot O$相切,则折痕CE的长为 (B)
A.$\frac {4\sqrt {3}}{3}$
B.$\frac {8\sqrt {3}}{3}$
C.$\sqrt {5}$
D.$2\sqrt {5}$

 

答案： B 解析:连接 AC.因为 O 为正方形 ABCD 的中心，所以 A，O，C 三点共线，∠B=90°，∠ACB=45°.又 CF，CE 分别与⊙O 相切，设切点分别为 M，N，连接 OM，ON，则∠OMC=∠ONC=90°，CM=CN.又 OC=OC，所以Rt△COM≌Rt△CON（HL）.所以∠FCO=∠ECO.设∠FCO=x，则∠ECO=x，∠FCE=2x.由折叠的性质，得∠BCE=∠FCE=2x.所以∠ACB=∠BCE+∠ECO=3x，即 3x=45°，解得 x=15°.所以∠BCE=30°.所以 BE= $\frac{1}{2}CE$.在Rt△BCE 中，BC=4，由勾股定理，得$BC^{2}+BE^{2}=CE^{2}$，所以$4^{2}+(\frac{1}{2}CE)^{2}=CE^{2}$，解得$CE=\frac{8\sqrt{3}}{3}$（负值已舍去）.则折痕 CE 的长为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,BC= 24,AD⊥BC$于点D,$AD= 5$,P是半径为3的$\odot A$上一动点,连接PC.若E是PC的中点,连接DE,则DE的长的最大值为 (A)
A.8
B.8.5
C.9
D.9.5

答案： A 解析:取 AC 的中点 H，连接 DH，EH，AP.因为 AB=AC，BC=24，AD⊥BC，所以$CD=\frac{1}{2}BC=12$，∠ADC=90°，即$DH=\frac{1}{2}AC$.在Rt△ADC 中，AD=5，由勾股定理，得$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=13$，所以 DH=6.5.又 E 是 PC 的中点，所以 EH 是△ACP 的中位线，即$EH=\frac{1}{2}AP$.又⊙A 的半径为 3，所以 AP=3，即 EH=1.5.又 DE≤DH+EH，所以当点 H 在线段 DE 上时，DE 的长最大，且最大值为 EH+DH=8.

11. 亮点原创 冬季甲流高发,流感病毒主要通过打喷嚏和咳嗽等飞沫传播.某人患了甲流,经过两轮传染后,共有144人感染甲流,则每轮传染中平均每人传染11人.

答案： 11

12. (2023·山东菏泽)如图,正八边形ABCDEFGH的边长为4,以顶点A为圆心,AB的长为半径画圆,则图中阴影部分的面积为______.(结果保留π)

6π

答案： 6π

13. (2024·内蒙古包头)如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过点C作$\odot O$的切线,交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若$∠AOB= 140^{\circ },∠BCP= 35^{\circ }$,则$∠ADC$的度数为______105°.

答案： 105°

14. 如图,C是以AB为直径的半圆O上一点,连接AC,BC,分别以AC,BC为直径作半圆,其中M,N分别是以AC,BC为直径的半圆弧的中点,$\widehat {AC},\widehat {BC}$的中点分别是P,Q.若$MP+NQ= 7,AC+BC= 24$,则AB的长是______17.

答案： 17

15. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= AC= 16cm$,AD为边BC上的高.动点P从点A出发,沿$A→D方向以\sqrt {2}cm/s$的速度向点D运动,连接BP,过点P作$PE⊥AD$,交AC于点E,过点E作$EF⊥BC$,交BC于点F.设$\triangle ABP的面积为S_{1}cm^{2}$,矩形PDFE的面积为$S_{2}cm^{2}$,运动的时间为t s$(0＜t＜8)$,则当$t= $6时,$S_{1}= 2S_{2}$.

答案： 6