《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

23. (6分)(2025·江苏无锡模拟)已知一元二次方程的两根都是整数,且不相等,若其中一根是另一根的整数倍,则称该方程是整根方程.例如:$x^{2}-x - 2 = 0的两根为x_{1}= -1$,$x_{2}= 2$.因为2是-1的-2倍,所以$x^{2}-x - 2 = 0$是整根方程.
(1)求证:方程$x^{2}+3x - 18 = 0$是整根方程;
(2)若存在正整数$m$,使关于$x的一元二次方程x^{2}-(m + 5)x + 4m + 4 = 0$是整根方程,且关于$x的一元二次方程x^{2}-4x + 2m = 0$有实数根,求$m$的值.

答案：
(1)解方程$x^{2}+3x-18=0$,得$x_{1}=-6,x_{2}=3$.因为-6 是 3 的-2 倍,所以方程$x^{2}+3x-18=0$是整根方程.
(2)解方程$x^{2}-(m+5)x+4m+4=0$,得$x_{1}=4,x_{2}=m+1$.因为该方程是整根方程,所以$x_{2}=k_{1}x_{1}$或$x_{1}=k_{2}x_{2}(k_{1},k_{2}$都是整数).又一元二次方程$x^{2}-4x+2m=0$有实数根,所以$b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1\cdot 2m≥0$,解得$m≤2$.又m 是正整数,所以$m=1$或 2 .当$m=1$时,$m+1=2$,则$x_{1}=2x_{2}$;当$m=2$时,$m+1=3$,则$x_{1}=\frac{4}{3}x_{2}$,不符合题意,舍去.所以 m的值是1.

24. (8分)(2024·四川内江)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-px + 1 = 0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}和x_{2}$.
(1)填空:$x_{1}+x_{2}=$p,$x_{1}\cdot x_{2}=$1;
(2)求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$,$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}$的值(用含$p$的代数式表示);
由(1),得$x_{1}+x_{2}=p,x_{1}\cdot x_{2}=1$,则$x_{2}=\frac{1}{x_{1}}$.所以$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}=p,x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=x_{1}+x_{2}=p$.
(3)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2p + 1$,求$p$的值.
由(1),得$x_{1}+x_{2}=p,x_{1}\cdot x_{2}=1$,所以$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}=p^{2}-2$.又$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,所以$p^{2}-2=2p+1$,解得$p=3$或$p=-1$.当$p=3$时,方程化为$x^{2}-3x+1=0$,此时$(-3)^{2}-4=5＞0$,符合题意;当$p=-1$时,方程化为$x^{2}+x+1=0$,此时$1^{2}-4=-3＜0$,方程无解,不符合题意,舍去.则p的值为3.

答案：
(1)p;1
(2)由
(1),得$x_{1}+x_{2}=p,x_{1}\cdot x_{2}=1$,则$x_{2}=\frac{1}{x_{1}}$.所以$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}=p,x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=x_{1}+x_{2}=p$.
(3)由
(1),得$x_{1}+x_{2}=p,x_{1}\cdot x_{2}=1$,所以$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}=p^{2}-2$.又$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p+1$,所以$p^{2}-2=2p+1$,解得$p=3$或$p=-1$.当$p=3$时,方程化为$x^{2}-3x+1=0$,此时$(-3)^{2}-4=5＞0$,符合题意;当$p=-1$时,方程化为$x^{2}+x+1=0$,此时$1^{2}-4=-3＜0$,方程无解,不符合题意,舍去.则p的值为3.

25. (8分)“通过等价变换,化复杂为简单,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式.例如:解方程$x-\sqrt{x}= 0$,就可利用该思维方式,设$\sqrt{x}= y$,将原方程转化为$y^{2}-y = 0这个熟悉的关于y$的一元二次方程,解出$y$,再求$x$,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解答下列问题:
(1)若$2(x^{2}+y^{2})^{2}+(x^{2}+y^{2})= 0$,则$x^{2}+y^{2}$的值为0;
(2)求方程$x^{2}-3|x|+2 = 0$的根;
令$|x|=t$,则原方程转化为$t^{2}-3t+2=0$,解得$t_{1}=1,t_{2}=2$.当$t=1$时,$|x|=1$,解得$x_{1}=1,x_{2}=-1$;当$t=2$时,$|x|=2$,解得$x_{3}=2,x_{4}=-2$.则原方程的根为$x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=2,x_{4}=-2$.
(3)解方程:$x^{2}-x + 2\sqrt{x^{2}-x}-8 = 0$.
令$\sqrt{x^{2}-x}=m$,则原方程转化为$m^{2}+2m-8=0$,解得$m_{1}=-4,m_{2}=2$.又$\sqrt{x^{2}-x}≥0$,所以$m≥0$,即$m=2$.所以$\sqrt{x^{2}-x}=2$,解得$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.经检验,原方程的解为$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.

答案：
(1)0
(2)令$|x|=t$,则原方程转化为$t^{2}-3t+2=0$,解得$t_{1}=1,t_{2}=2$.当$t=1$时,$|x|=1$,解得$x_{1}=1,x_{2}=-1$;当$t=2$时,$|x|=2$,解得$x_{3}=2,x_{4}=-2$.则原方程的根为$x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=2,x_{4}=-2$.
(3)令$\sqrt{x^{2}-x}=m$,则原方程转化为$m^{2}+2m-8=0$,解得$m_{1}=-4,m_{2}=2$.又$\sqrt{x^{2}-x}≥0$,所以$m≥0$,即$m=2$.所以$\sqrt{x^{2}-x}=2$,解得$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.经检验,原方程的解为$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.