《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

19. (8分)计算：
(1) $ \tan 45^{\circ} - \sin 30^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} $； (2) $ \frac{\cos 45^{\circ}}{\tan^{2}30^{\circ}} + \sin 45^{\circ} $。

答案： （1）原式$=1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$。
（2）原式$=\frac{\sqrt{2}}{2} ÷ (\frac{\sqrt{3}}{3})^{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$。

20. (8分)解下列方程：
(1) $ (x - 2)^{2} = 4 $； (2) $ x^{2} - 6x + 4 = 0 $。

答案： $(1)$ 求解方程$(x - 2)^{2} = 4$
解：
根据平方根的定义，若$a^2=b$（$b\geq0$），则$a = \pm\sqrt{b}$。
对于方程$(x - 2)^{2} = 4$，可得$x - 2=\pm\sqrt{4}=\pm2$。
当$x - 2 = 2$时，$x=2 + 2=4$；
当$x - 2=-2$时，$x=-2 + 2=0$。
所以方程$(x - 2)^{2} = 4$的解为$x_1 = 4$，$x_2 = 0$。
$(2)$ 求解方程$x^{2} - 6x + 4 = 0$
解：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0$（$a\neq0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2} - 6x + 4 = 0$中，$a = 1$，$b=-6$，$c = 4$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×4=36 - 16 = 20$。
再将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式：
$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{20}}{2×1}=\frac{6\pm2\sqrt{5}}{2}=3\pm\sqrt{5}$。
所以方程$x^{2} - 6x + 4 = 0$的解为$x_1 = 3+\sqrt{5}$，$x_2 = 3-\sqrt{5}$。
综上，$(1)$的解为$\boldsymbol{x_1 = 4，x_2 = 0}$；$(2)$的解为$\boldsymbol{x_1 = 3+\sqrt{5}，x_2 = 3-\sqrt{5}}$。

21. (10分)如图,在 $ \triangle ABC $和 $ \triangle DEC $中, $ \angle BCE = \angle ACD $, $ \angle B = \angle CED $。
(1) 求证： $ \triangle ABC \sim \triangle DEC $；
(2) 若 $ S_{\triangle ABC} : S_{\triangle DEC} = 4 : 9 $, $ BC = 12 $,求 $ EC $的长。

答案： （1）因为$\angle BCE = \angle ACD$所以$\angle BCE + \angle ACE = \angle ACD + \angle ACE$，即$\angle ACB = \angle DCE$。又$\angle B = \angle CED$，所以$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$。
（2）由（1），得$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$，所以$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEC}} = (\frac{BC}{EC})^{2}$。又$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC} = 4:9$，$BC = 12$，所以$\frac{4}{9} = (\frac{12}{EC})^{2}$，解得$EC = 18$（负值已舍去）。经检验，$EC = 18$是原分式方程的解，且符合题意。则$EC$的长为$18$。

22. (10分)为了了解我国的数学文化,现有《九章算术》《周髀算经》《海岛算经》三本书,依次用 $ A $, $ B $, $ C $表示,小明先从中任意抽取一本,小红再从剩下的两本中任意抽取一本。
(1) 小明抽取的书是《周髀算经》的概率是______；
(2) 请用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果,并求抽取到的两本书中有《九章算术》的概率。

答案：
（1）$\frac{1}{3}$
（2）画树状图如图：

由树状图，得共有$6$种等可能的结果，其中抽取到的两本书中有《九章算术》的结果有$4$种，则抽取到的两本书中有《九章算术》的概率为$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。