《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

7. (2024·北京)如图,⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D= 35°,则∠C= ______°.

55

答案： 55

8. (2024·山东临沂)如图,△ABC是⊙O的内接三角形.若OA//CB,∠ACB= 25°,则∠CAB= ______°.

40

答案： 40

9. 新素养 运算能力 如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于直线AC的对称点E在边BC上,连接AE.若∠ABC= 64°,则∠BAE的度数为______52°.

答案： $52^{\circ}$

10. 亮点原创·如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠B= 90°,∠BCD= 120°,AB= 4,CD= √{3},则四边形ABCD的面积为______.

$\frac{13\sqrt{3}}{2}$

答案： 1. 首先，连接$AC$：
因为四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，$\angle B = 90^{\circ}$，根据圆内接四边形对角互补，可得$\angle D=180^{\circ}-\angle B = 90^{\circ}$。
已知$\angle BCD = 120^{\circ}$，则$\angle ACB+\angle ACD = 120^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 4$，设$\angle ACB=\alpha$，则$\angle ACD = 120^{\circ}-\alpha$，$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$，$\tan\alpha=\frac{AB}{BC}$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle D = 90^{\circ}$，$CD=\sqrt{3}$，$\tan(120^{\circ}-\alpha)=\frac{AD}{CD}$。
根据三角函数两角差公式$\tan(A - B)=\frac{\tan A-\tan B}{1 + \tan A\tan B}$，$\tan120^{\circ}=-\sqrt{3}$，$\tan(120^{\circ}-\alpha)=\frac{-\sqrt{3}-\tan\alpha}{1-\sqrt{3}\tan\alpha}$。
又因为$\angle BAC+\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle CAD+\angle ACD = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC=\angle ACD$，$\angle CAD=\angle ACB$。
由$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$，可得$\triangle ABC\sim\triangle CDA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{AD}=\frac{AC}{CA}$，即$\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{BC}{AD}$。
再根据勾股定理：
在$Rt\triangle ABC$中，$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=16 + BC^{2}$；在$Rt\triangle ADC$中，$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=AD^{2}+3$。
因为$\triangle ABC\sim\triangle CDA$，所以$AB\cdot AD=BC\cdot CD$。
设$BC = x$，$AD = y$，则$4y=\sqrt{3}x$，即$y=\frac{\sqrt{3}}{4}x$。
又$16 + x^{2}=y^{2}+3$，将$y=\frac{\sqrt{3}}{4}x$代入$16 + x^{2}=y^{2}+3$得：
$16 + x^{2}=\frac{3}{16}x^{2}+3$。
移项可得$x^{2}-\frac{3}{16}x^{2}=3 - 16$，$\frac{16x^{2}-3x^{2}}{16}=-13$（此方法错误，重新换思路）。
2. 延长$BC$，$AD$交于点$E$：
因为$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle BCD = 120^{\circ}$，所以$\angle ECD = 60^{\circ}$，$\angle E = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle CDE$中：
因为$\angle D = 90^{\circ}$，$\angle E = 30^{\circ}$，$CD=\sqrt{3}$，根据$30^{\circ}$所对直角边是斜边的一半，可得$CE = 2CD = 2\sqrt{3}$，再根据勾股定理$DE=\sqrt{CE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{12 - 3}=3$。
在$Rt\triangle ABE$中：
因为$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle E = 30^{\circ}$，$AB = 4$，所以$AE = 8$，根据勾股定理$BE=\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}=\sqrt{64 - 16}=4\sqrt{3}$。
3. 然后求四边形$ABCD$的面积：
$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABE}-S_{\triangle CDE}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AB\cdot BE=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$，$S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}CD\cdot DE=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
所以$S_{四边形ABCD}=8\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{16\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2}=\frac{13\sqrt{3}}{2}$。
故答案为$\frac{13\sqrt{3}}{2}$。

11. (2025·江苏泰州模拟)如图,在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD.若点D与圆心O不重合,∠BAC= 25°,则∠DCA的度数为40°.

答案： $40^{\circ}$

12. 如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB= 6,BC= 4.若P是△ABC内部一个动点,且满足∠PAB= ∠PBC,则线段CP的长的最小值是______2.

答案： 2　解析:因为$AB⊥BC$,所以$∠ABC=90^{\circ}$,即$∠ABP+∠PBC=90^{\circ}$.又$∠PAB=∠PBC$,所以$∠ABP+∠PAB=90^{\circ}$,所以$∠APB=180^{\circ}-∠PAB-∠ABP=90^{\circ}$,即点P在以AB为直径的圆上.取AB的中点O,连接OP，OC,则$OP=OB=\frac{1}{2}AB$.又AB=6,所以OP=OB=3.在$Rt\triangle OBC$中,BC=4,由勾股定理，得$OC=\sqrt{OB^{2}+BC^{2}}=5$.又$CP\geq OC - OP=2$,且当点P在线段OC上时,CP的长最小,所以CP的长的最小值是2.

13. (10分)已知⊙O的两条弦AB,CD相交于点M,且AB= CD.
(1) 如图①,连接AD.求证:AM= DM;
(2) 如图②,若AB⊥CD,在⌢{BD}上取一点E,使⌢{BE}= ⌢{BC},连接AE交CD于点F,连接AD,DE.判断∠E与∠DFE是否相等? 并说明理由.

答案：
(1)因为AB=CD,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BD}$,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,即$∠A=∠D$.所以AM=DM.
(2)$∠E$与$∠DFE$相等.理由如下:连接AC.因为$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠CAB=∠EAB$.因为$AB⊥CD$,所以$∠AMC=∠AMF=90^{\circ}$.又AM=AM,所以$\triangle ACM\cong \triangle AFM(ASA)$,所以$∠ACF=∠AFC$.因为$∠ACF=∠E$,$∠AFC=∠DFE$,所以$∠E=∠DFE$.

14. (10分)如图,⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于E,F两点.
(1) 当∠E= ∠F时,∠ADC= 90°;
(2) 当∠A= 55°,∠E= 30°时,求∠F的度数;
(3) 若∠E= α,∠F= β,且α≠β.请你用含有α,β的代数式表示∠A的度数.
(2)因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，所以$∠A+∠BCD=180^{\circ}$,$∠ABC+∠ADC=180^{\circ}$.又$∠BCD+∠BCF=180^{\circ}$,$∠ABC=∠F+∠BCF$,$∠ADC=∠E+∠DCE$,所以$∠A=∠BCF$,$∠E+∠DCE+∠F+∠BCF=180^{\circ}$.又$∠BCF=∠DCE$,所以$∠E+∠F+2∠A=180^{\circ}$.又$∠A=55^{\circ}$,$∠E=30^{\circ}$,所以$∠F=180^{\circ}-2∠A-∠E=40^{\circ}$.
(3)由(2),得$∠E+∠F+2∠A=180^{\circ}$,且$∠E=\alpha$,$∠F=\beta$,$\alpha \neq \beta$,所以$∠A=90^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}$.

答案：
(1)90
(2)因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，所以$∠A+∠BCD=180^{\circ}$,$∠ABC+∠ADC=180^{\circ}$.又$∠BCD+∠BCF=180^{\circ}$,$∠ABC=∠F+∠BCF$,$∠ADC=∠E+∠DCE$,所以$∠A=∠BCF$,$∠E+∠DCE+∠F+∠BCF=180^{\circ}$.又$∠BCF=∠DCE$,所以$∠E+∠F+2∠A=180^{\circ}$.又$∠A=55^{\circ}$,$∠E=30^{\circ}$,所以$∠F=180^{\circ}-2∠A-∠E=40^{\circ}$.
(3)由
(2),得$∠E+∠F+2∠A=180^{\circ}$,且$∠E=\alpha$,$∠F=\beta$,$\alpha \neq \beta$,所以$∠A=90^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}$.