《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

22. (6 分)(2023·湖北襄阳)关于 x 的一元二次方程$x^{2}+2x+3-k= 0$有两个不相等的实数根.
(1) 求 k 的取值范围;
(2) 若方程的两个根分别为 α,β,且$k^{2}= αβ+3k$,求 k 的值.

答案：
(1)由题意,得$2^2-4× 1× (3-k)＞0$,解得k＞2.则 k 的取值范围为k＞2.
(2)由题意,得$\alpha\beta=3-k$.又$k^2=\alpha\beta+3k$,所以$k^2=3-k+3k$,解得$k_1=3$,$k_2=-1$.由
(1),得k＞2,所以k=3.则 k 的值为3.

23. (6 分)近两年哈尔滨成了冬季游客打卡的一大圣地,冰雪大世界一票难求. 哈尔滨某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天 200 元时,房间可以住满. 当每个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲. 对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出 30 元的各种费用;对无游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出 10 元的各种费用. 若该宾馆希望每天获利 13 400 元,并保证较高的入住率,则每个房间每天的定价应增加多少元?

答案： 设每个房间每天的定价应增加 x 元.由题意,得$(200+x)\left(60-\frac{x}{10}\right)-\left(60-\frac{x}{10}\right)× 30-\frac{x}{10}× 10=13400$,解得$x_1=320$,$x_2=100$.因为宾馆还需保证较高的入住率,所以x=100.则每个房间每天的定价应增加100元.

24. (6 分)新趋势 推导探究 已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}-6x+2m-1= 0有x_{1},x_{2}$两个实数根.
(1) 若$x_{1}= 1$,求$x_{2}$及 m 的值;
(2) 是否存在实数 m,满足$(x_{1}-1)(x_{2}-1)= \frac{6}{m-5}$? 若存在,求实数 m 的值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)由根与系数的关系,得$x_1+x_2=6$,$x_1\cdot x_2=2m-1$.因为$x_1=1$,所以$x_2=6-x_1=5$,即$x_1\cdot x_2=5$.所以$2m-1=5$,解得m=3.则$x_2$,m 的值分别为5,3.
(2)存在.因为方程$x^2-6x+2m-1=0$有两个实数根,所以$b^2-4ac=(-6)^2-4(2m-1)\geq 0$,解得m≤5.由
(1),得$x_1+x_2=6$,$x_1\cdot x_2=2m-1$,且$(x_1-1)(x_2-1)=x_1\cdot x_2-(x_1+x_2)+1$.又$(x_1-1)\cdot (x_2-1)=\frac{6}{m-5}$,所以$2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$.整理,得$m^2-8m+12=0$,解得$m_1=2$,$m_2=6$(舍去).经检验,m=2是原分式方程的解.则实数 m 的值为2.