《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点 D 在边 AC 上,过$\triangle ABD$的内心 I 作$IE⊥BD$于点 E. 若$BD= 10,CD= 4$,则 BE 的长为 (B)
A.6
B.7
C.8
D.9

答案： B

9. 如图,正方形 ABCD 内接于$\odot O$,线段 MN 在对角线 BD 上运动. 若$\odot O$的面积为 2π,$MN= 1$,则$\triangle AMN$周长的最小值是 (A)
A.4
B.5
C.5.5
D.6

答案： A　解析:因为⊙O的面积为2π,所以⊙O的半径为$\sqrt{2}$.连接AC,则BD=AC=$2\sqrt{2}$.由正方形的性质，得AC⊥BD，点C是点A关于直线BD的对称点.如图，过点C作CA'//BD,且CA'=1,连接AA'交BD于点N，在BN上取MN=1,连接AM,CM,则AM=CM,四边形MCA'N为平行四边形,所以A'N=CM,即A'N=AM.又△AMN的周长为AM+AN+MN=A'N+AN+1≥AA'+1,所以此时△AMN的周长最小，且最小值为AA'+1.又AC⊥BD,所以A'C⊥AC.在Rt△AA'C中,由勾股定理，得AA'=$\sqrt{A'C^{2}+AC^{2}}$=3.则△AMN周长的最小值为3+1=4.

10. 新素养 几何直观 如图,以点$G(0,1)$为圆心,2 为半径的圆与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C,D 两点,E 为$\odot G$上一动点,$CF⊥AE$于点 F. 当点 E 从点 B 出发沿$\overset{\frown}{BD}$顺时针运动到点 D 时,点 F 所经过的路径长为 (D)
A.$\frac {\sqrt {3}π}{2}$
B.$\sqrt {3}π$
C.$\frac {2\sqrt {3}π}{3}$
D.$\frac {\sqrt {3}π}{3}$

答案： D　解析:如图，连接AC,AG,BC,取AC的中点H，连接OH.因为点G的坐标为(0,1),所以OG=1.又⊙G的半径为2,所以GA=GC=2,即OC=3.又GO⊥AB,所以AO=BO=$\frac{1}{2}$AB.在Rt△AOG中,由勾股定理，得AO=$\sqrt{GA^{2}-OG^{2}}$=$\sqrt{3}$,所以AB=$2\sqrt{3}$.在Rt△AOC中,由勾股定理，得AC=$\sqrt{AO^{2}+OC^{2}}$=$2\sqrt{3}$.又∠AOC=∠BOC=90°,OC=OC,所以△AOC≌△BOC(SAS).所以BC=AC=$2\sqrt{3}$,即AB=BC=AC.所以△ABC是等边三角形.又OC⊥AB，所以∠ACO=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.又CF⊥AE,所以点F在以AC为直径的圆上.当点E从点B出发沿$\overset{\frown}{BD}$顺时针运动到点D时,点F的运动路径为$\overset{\frown}{OA}$.又AH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$,∠AHO=2∠ACO=60°,所以$l_{\overset{\frown}{OA}}$=$\frac{60\pi×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}\pi}{3}$.所以点F所经过的路径长为$\frac{\sqrt{3}\pi}{3}$.

11. 亮点原创 已知圆锥的母线长为 25 cm, 底面圆面积为$ 49π cm^2,$则这个圆锥的侧面积是175π$cm^2.$

答案： 175π

12. (2023·黑龙江龙东地区)如图,AB 是$\odot O$的直径,PA 切$\odot O$于点 A,PO 交$\odot O$于点 C,连接 BC. 若$∠B= 28^{\circ}$,则$∠P$的度数为34°.

答案： 34°

13. (2024·四川凉山)已知$y^{2}-x= 0,x^{2}-3y^{2}+x-3= 0$,则 x 的值为______3.

答案： 3

14. 亮点原创 如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,$\odot O的半径为\sqrt {13}$,弦 AB 的长为 6,过点 O 作$OC⊥AB$于点 C,$\odot O$内一点 D 的坐标为$(4,3)$. 当弦 AB 绕点 O 顺时针旋转时,点 D 到 AB 的距离的最大值是______16.

答案： 16