《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

1. (2023·山东东营)若圆锥侧面展开图的面积是15π,母线长是5,则这个圆锥的底面圆半径是 (A)
A.3
B.4
C.5
D.6

答案： A

2. 亮点原创已知5角硬币的直径约为20mm,则用一枚5角硬币能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过 (D)
A.5mm
B.5$\sqrt {2}$mm
C.10mm
D.10$\sqrt {2}$mm

答案： 1. 首先明确：
当正方形的对角线长等于圆的直径时，这个正方形的边长最大（此时圆能完全覆盖正方形）。
设正方形的边长为$a$，根据正方形的性质，正方形的对角线$l$与边长$a$的关系为$l = \sqrt{a^{2}+a^{2}}$（由勾股定理$l^{2}=a^{2}+a^{2}$，$l\gt0$，$a\gt0$），即$l=\sqrt{2}a$。
2. 然后已知圆的直径$l = 20mm$：
因为$l=\sqrt{2}a$，且$l = 20mm$，所以$a=\frac{l}{\sqrt{2}}$。
将$l = 20mm$代入$a=\frac{l}{\sqrt{2}}$，根据分母有理化$a=\frac{20}{\sqrt{2}}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$。
计算可得$a = 10\sqrt{2}mm$。
所以用一枚$5$角硬币能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过$10\sqrt{2}mm$，答案是D。

3. 新趋势情境素材(2023·山西)如图为高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧),高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过A,B两点的两条切线相交于点C,列车在从点A到点B行驶的过程中转角α为60°.若半径OA= 1.5km,则⌢AB的长为 (B)

A.π/4km
B.π/2km
C.3π/4km
D.3π/8km

答案： B

4. (2024·内蒙古呼和浩特)如图,正四边形ABCD和正五边形CEFGH都内接于⊙O,AD和EF相交于点M,则∠AMF的度数为 (B)


A.26°
B.27°
C.28°
D.30°

答案： B

5. 如图,在菱形ABCD中,∠D= 60°,AB= 2,以点B为圆心,BC的长为半径画⌢AC,P为菱形内部一点,连接PA,PB,PC.当△BPC为等腰直角三角形时,图中阴影部分的面积为 (A)
$A.\frac {2}{3}π-\frac {\sqrt {3}+1}{2}$

$B.\frac {2π}{3}-\frac {\sqrt {3}*1}{2}$
C.2π
$D.2π-\frac {\sqrt {3}-1}{2}$

答案： A

6. 如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形相邻的两边上.如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止,同时点R从点B出发,沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到点B为止,在这个过程中,线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为 ( )

A.2
B.4 - π
C.π
D.π - 1

答案：
B　解析:因为四边形ABCD是正方形，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°.当点Q在AB上时，连接BM.因为M为QR的中点,QR=2,所以BM=$\frac{1}{2}$QR=1,即点M的运动轨迹为以点B为圆心，1为半径的$\frac{1}{4}$圆弧.同理，得当点Q 在BC，CD，AD上时，点M的运动轨迹分别为以C,D,A三点为圆心，半径为1的$\frac{1}{4}$圆弧.则线段QR的中点M所经过的路线围成的图形如图中阴影部分所示.所以其面积为2×2−4×$\frac{1}{4}$×π×1²=4−π

7. 新素养空间观念(2024·黑龙江齐齐哈尔)若圆锥的底面圆半径是1cm,它的侧面展开图的圆心角是直角,则该圆锥的高为$\sqrt{15}$cm.

答案： $\sqrt{15}$