《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

19. (8 分)解下列方程:
(1)$(x+4)^{2}= 5(x+4)$;
(2)$(3x-1)^{2}= (x+1)^{2}$;
(3)(2024·青海)$x^{2}-4x+3= 0$;
(4)$2x^{2}+6= 7x$.

答案： 1. （1）
解：
移项得$(x + 4)^{2}-5(x + 4)=0$。
提取公因式$(x + 4)$得$(x + 4)(x + 4 - 5)=0$，即$(x + 4)(x - 1)=0$。
则$x+4 = 0$或$x - 1 = 0$。
解得$x_{1}=-4$，$x_{2}=1$。
2. （2）
解：
移项得$(3x - 1)^{2}-(x + 1)^{2}=0$。
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 3x - 1$，$b = x + 1$，则$[(3x - 1)+(x + 1)][(3x - 1)-(x + 1)]=0$。
化简得$(4x)(2x - 2)=0$，即$8x(x - 1)=0$。
则$x = 0$或$x - 1 = 0$。
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=1$。
3. （3）
解：
对于方程$x^{2}-4x + 3 = 0$，分解因式得$(x - 1)(x - 3)=0$。
则$x - 1 = 0$或$x - 3 = 0$。
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$。
4. （4）
解：
移项得$2x^{2}-7x + 6 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 2,b=-7,c = 6)$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
先计算$\Delta=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×2×6=49 - 48 = 1$。
则$x=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{7\pm1}{4}$。
当$x=\frac{7 + 1}{4}$时，$x_{1}=2$；当$x=\frac{7 - 1}{4}$时，$x_{2}=\frac{3}{2}$。
综上，（1）$x_{1}=-4$，$x_{2}=1$；（2）$x_{1}=0$，$x_{2}=1$；（3）$x_{1}=1$，$x_{2}=3$；（4）$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{3}{2}$。

20. (6 分)先化简,再求值:$(\frac{2}{x-3}-\frac{1}{x})\cdot \frac{x^{2}-3x}{x^{2}+6x+9}$,其中 x 是方程$x^{2}-2x-3= 0$的根.

答案： 原式=$\frac{2x-x+3}{x(x-3)}\cdot \frac{x(x-3)}{(x+3)^2}=\frac{1}{x+3}$.解方程$x^2-2x-3=0$,得$x_1=3$,$x_2=-1$.又$x-3\neq 0$,所以 x≠3,即 x=-1.则原式=$\frac{1}{-1+3}=\frac{1}{2}$.

21. (6 分)(2023·湖南郴州)随着旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2 月份游客人数 1.6 万人,4 月份游客人数为 2.5 万人.
(1) 求这两个月该景区游客人数的月平均增长率;
(2) 预计 5 月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率. 知该景区 5 月 1 日至 5 月 21 日已接待游客 2.125 万人,则 5 月份后 10 天日均接待游客数最多有多少万人?

答案：
(1)设这两个月该景区游客人数的月平均增长率为 x.由题意,得$1.6(1+x)^2=2.5$,解得$x_1=25\%$,$x_2=-2.25$(舍去).则这两个月该景区游客人数的月平均增长率为25%.
(2)设5月份后10天日均接待游客人数有y万人.由题意,得$10y+2.125\leq 2.5× (1+25\%)$,解得$y\leq 0.1$.则5月份后10天日均接待游客人数最多有0.1万人.