《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

18. 对于一切正整数$n$,将关于$x的一元二次方程x^{2}-(n + 3)x - 3n^{2}= 0的两个根分别记为a_{n}$,$b_{n}$,则$\frac{1}{(a_{1}-3)(b_{1}-3)}+\frac{1}{(a_{2}-3)(b_{2}-3)}+…+\frac{1}{(a_{2025}-3)(b_{2025}-3)}= $$-\frac{675}{2026}$.

答案： $-\frac{675}{2026}$ 解析:由根与系数的值关系,得$a_{n}+b_{n}=n+3,a_{n}b_{n}=-3n^{2}$.所以$(a_{n}-3)(b_{n}-3)=a_{n}b_{n}-3(a_{n}+b_{n})+9=-3n\cdot (n+1)$.所以$\frac{1}{(a_{n}-3)(b_{n}-3)}=-\frac{1}{3n(n+1)}=-\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$.则原式$=-\frac{1}{3}× (1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})=-\frac{1}{3}× \frac{2025}{2026}=-\frac{675}{2026}$.

19. (6分)解下列方程:
(1)$x^{2}+10x - 24 = 0$;
(2)(2024·江苏徐州)$x^{2}+2x - 1 = 0$.

答案：
(1)$x_{1}=-12,x_{2}=2$.
(2)$x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2}$.

20. (6分)新素养运算能力(2023·浙江杭州)设一元二次方程$x^{2}+bx + c = 0$.在下列四组条件中选择一组$b$,$c$的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①$b = 2$,$c = 1$;②$b = 3$,$c = 1$;③$b = 3$,$c = -1$;④$b = 2$,$c = 2$.

答案： 由题意,得$b^{2}-4c＞0$.对于①,$b=2,c=1$,所以$b^{2}-4c=0$,不符合题意,舍去;对于②,$b=3,c=1$,所以$b^{2}-4c=5＞0$,符合题意;对于③,$b=3,c=-1$,所以$b^{2}-4c=13＞0$,符合题意;对于④,$b=2,c=2$,所以$b^{2}-4c=-4＜0$,不符合题意,舍去.选择②,当$b=3,c=1$时,方程化为$x^{2}+3x+1=0$,解得$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$. (或选择③,当$b=3,c=-1$时,方程化为$x^{2}+3x-1=0$,解得$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},x_{2}=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}$)

21. (6分)直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系,在中国称为“商高定理”,在国外又称为“毕达哥拉斯定理”.由此发现三个连续正整数3,4,5,满足$3^{2}+4^{2}= 5^{2}$,即前两个数的平方和等于第三个数的平方.请你探究:是否存在五个连续正整数,满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和?若存在,请求出这五个正整数;若不存在,请说明理由.

答案： 假设存在五个连续的正整数$x,x+1,x+2,x+3,x+4$,满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和,即$x^{2}+(x+1)^{2}+(x+2)^{2}=(x+3)^{2}+(x+4)^{2}$,解得$x_{1}=10,x_{2}=-2$(舍去).所以存在五个连续的正整数 10,11,12,13,14,满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和.

22. (6分)(2024·辽宁)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量$y$(件)与每件的售价$x$(元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表:
|每件的售价$x$/元|…|45|55|65|…|
|日销售量$y$/件|…|55|45|35|…|
(1)求$y与x$之间的函数表达式(不要求写出自变量$x$的取值范围);
(2)该商品的日销售额能否刚好达到2600元?如果能,求出每件商品的售价;如果不能,请说明理由.

答案：
(1)设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$.由题意,将(45,55),(55,45)分别代入,得$\left\{\begin{array}{l} 45k+b=55\\ 55k+b=45\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l} k=-1\\ b=100\end{array}\right.$.所以y与x之间的函数表达式为$y=-x+100$.
(2)不能.理由如下:由题意,得$x(-x+100)=2600$,即$x^{2}-100x+2600=0$.因为$b^{2}-4ac=(-100)^{2}-4×1×2600=-400＜0$,所以该方程无解.所以该商品的日销售额不能刚好达到 2600 元.