《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

23. (10分)为了了解八年级学生每天完成课外作业时间的情况,从全区八年级学生中随机抽取部分学生每天完成课外作业的时间进行调查,并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表：

(1) $ a = $______, $ b = $______；
(2) 请在图中补全频数分布直方图；
(3) 根据规定,八年级学生每天完成课外作业的时间不超过 $ 1.5 $h,则全区4 800名八年级学生中每天完成课外作业时间超过规定的约有多少人？

答案：
（1）$40$ $0.15$
（2）由（1），得$a = 40$，所以$c = 40 × 0.3 = 12$。补全频数分布直方图如图所示：

（3）由（1），得$b = 0.15$，所以全区$4800$名八年级学生中每天完成课外作业时间超过规定的约有$4800 × (0.15 + 0.05) = 960$（人）。

24. (10分)已知 $ C $为 $ \angle MON $的边 $ OM $上的一个点, $ OC = 2 $。
(1) 请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图：在直线 $ CM $上确定一个点 $ A $,作 $ \odot A $,使得 $ \odot A $经过点 $ C $,并且与 $ ON $相切于点 $ B $(不写作法,保留作图痕迹)；
(2) 在(1)中,连接 $ BC $,过点 $ A $作 $ AD \perp BC $交 $ ON $于点 $ D $,连接 $ CD $。若 $ \odot A $的半径为3,则 $ CD = $______(如需画草图,请使用图②)。

答案：
（1）如图，$A'$，$A''$两点即为所求。

（2）$\frac{3}{2}$ 解析:由（1）及题意，得点$A$在点$C$的右侧，$OC = 2$，$AC = AB = 3$，$AB\perp ON$，$AD\perp BC$，所以$\angle ABD = 90^{\circ}$，直线$AD$是$BC$的垂直平分线。所以$BD = CD$。又$AD = AD$，所以$\triangle ACD\cong\triangle ABD$（SSS）。所以$\angle ACD = \angle ABD = 90^{\circ}$，即$\angle OCD = 180^{\circ} - \angle ACD = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle OAB$中，$OA = OC + AC = 5$，由勾股定理，得$OB = \sqrt{OA^{2} - AB^{2}} = 4$。设$BD = x$，则$CD = x$，$OD = 4 - x$。在$Rt\triangle OCD$中，由勾股定理，得$OC^{2} + CD^{2} = OD^{2}$，所以$2^{2} + x^{2} = (4 - x)^{2}$，解得$x = \frac{3}{2}$。所以$CD$的长为$\frac{3}{2}$。

25. (10分)新趋势 情境素材 【问题情境】 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作原理。假定在水流量稳定的情况下,简车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动,每旋转一周用时72 s。
【问题设置】 把简车抽象为一个半径为 $ r $的 $ \odot O $。如图, $ OM $始终垂直于水平面,设简车半径为2 m。当 $ t = 0 $时,某盛水筒恰好位于水面上的点 $ A $处,此时 $ \angle AOM = 45^{\circ} $,经过51 s后该盛水简运动到点 $ B $处。
【问题解决】
(1) 求该盛水筒从点 $ A $处旋转到点 $ B $处时, $ \angle BOM $的度数；
(2) 求该盛水筒旋转至点 $ B $处时,它到水面的距离。

答案：
（1）由题意，得$\angle AOB = 360^{\circ} × \frac{72 - 51}{72} = 105^{\circ}$。又$\angle AOM = 45^{\circ}$，所以$\angle BOM = \angle AOB - \angle AOM = 60^{\circ}$。
（2）如图，过点$B$分别作$BC\perp OM$于点$C$，$BE\perp$水面于点$E$，所以盛水筒旋转至点$B$时，它到水面的距离为$BE$的长。设$OM$与水面交于点$D$，则$OD\perp AD$。所以$\angle BCO = \angle BCD = \angle BED = \angle ODA = \angle ODE = 90^{\circ}$。所以四边形$BCDE$是矩形$BE = CD$。又$\angle AOM = 45^{\circ}$，所以$\angle OAD = 90^{\circ} - \angle AOM = 45^{\circ}$，即$\angle AOM = \angle OAD$。所以$AD = OD$。在$Rt\triangle OAD$中，$OA = 2m$，由勾股定理，得$OD^{2} + AD^{2} = OA^{2}$，所以$2OD^{2} = 4$，解得$OD = \sqrt{2}m$（负值已舍去）。由（1），得$\angle BOM = 60^{\circ}$，且$OB = 2m$，所以$\angle OBC = 90^{\circ} - \angle BOM = 30^{\circ}$，即$OC = \frac{1}{2}OB = 1m$。所以$CD = OD - OC = (\sqrt{2} - 1)m$，即$BE = (\sqrt{2} - 1)m$。则该盛水筒旋转至点$B$处时，它到水面的距离为$(\sqrt{2} - 1)m$。