《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

15. (10分)某经销商代销一种智能学习机,促销广告显示“若购买不超过40台学习机,则每台售价为800元;若超过40台,则每超过1台,每台售价将减少5元,且每台学习机的售价不能低于500元”.该学习机的进货价y(元)与进货数量x(台)之间的关系如图所示.
(1)当x＞40时,用含x的代数式表示每台学习机的售价;
(2)当该经销商一次性购进并销售学习机60台时,每台学习机可以获利多少元?
(3)若该经销商在一次销售中获利4800元,则该经销商可能购进并销售学习机多少台?

答案：
(1)由题意,得当x＞40时,每台学习机的售价为800-5(x-40)=(-5x+1000)元.
(2)设题图中函数图像对应的函数表达式为y=kx+b.把(0,700)和(50,600)分别代入,得{b=700,50k+b=600,解得{k=-2,b=700.所以函数表达式为y=-2x+700.由
(1),得当x＞40时,每台学习机的售价为(-5x+1000)元.当x=60时,进价为-2×60+700=580(元),售价为-5×60+1000=700(元),则每台学习机可以获利700-580=120(元).
(3)当x＞40时,每台学习机的利润是(-5x+1000)-(-2x+700)=(-3x+300)元.由题意,得x(-3x+300)=4800,解得x₁=80,x₂=20(舍去);当x≤40时,每台学习机的利润是800-(-2x+700)=(2x+100)元.由题意,得x(2x+100)=4800,解得x₃=30,x₄=-80(舍去).综上,该经销商可能购进并销售学习机80台或30台.

16. (10分)某工厂有甲、乙两个车间,甲车间生产A产品,乙车间生产B产品,去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出.已知A产品的销售价比B产品的销售价高100元/件,1件A产品与1件B产品的售价和为500元.
(1)A,B两种产品的销售价分别是多少元/件?
(2)随着5G时代的到来,工业互联网进入了快速发展时期.今年,该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间.预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%;B产品产量将在去年的基础上减少a%,但B产品的销售价将提高3a%,则今年A,B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加$\frac{29}{25}a\%$.求a的值.

答案：
(1)设B产品销售价为x元/件,则A产品销售价为(x+100)元/件.由题意,得x+100+x=500,解得x=200.则x+100=300.所以A产品销售价为300元/件,B产品销售价为200元/件.
(2)设去年每个车间生产产品数量为t件.由题意,得300(1+a%)t+200(1+3a%)·(1-a%)t=500t(1$\frac{+29}{25}$a%).设a%=m,则原方程可化为5m²-m=0,解得m₁=$\frac{1}{5}$,m₂=0(舍去).所以a%=$\frac{1}{5}$=20%,即a=20.

17. (12分)新素养 推理能力 如图,在矩形ABCD中,AB= 16cm,BC= 6cm,点P从点A出发沿AB向点B移动(不与A,B两点重合),同时,点Q从点C出发沿CD向点D移动(不与C,D两点重合),当一点到达终点时,另一点也随之停止移动.
(1)若P,Q两点均以3cm/s的速度移动,则经过多少秒时,四边形BPDQ为菱形?
(2)若点P以3cm/s的速度移动,点Q以2cm/s的速度移动,则经过多少秒时,△DPQ为直角三角形?

答案：
(1)因为四边形ABCD是矩形,AB=16 cm,BC=6 cm,所以AB//CD,CD=AB=16 cm,AD=BC=6 cm,∠A=90°.因为P,Q两点均以3 cm/s的速度移动,所以AP=CQ.所以AB-AP=CD-CQ,即BP=DQ.所以当BP=DP时,四边形BPDQ是菱形.设运动的时间为t s,则AP=3t cm,BP=(16-3t)cm.又BP=DP,所以BP²=DP².在Rt△ADP中,由勾股定理,得DP²=AP²+AD²=(3t)²+6²,即(3t)²+6²=(16-3t)²,解得t=$\frac{55}{24.}$则经过$\frac{55}{24}$ s时,四边形BPDQ为菱形.
(2)设经过x s时,△DPQ为直角三角形.因为点P不与点A重合,所以∠PDQ≠90°.所以△DPQ为直角三角形分∠DPQ=90°或∠DQP=90°两种情况.分类讨论如下:①当∠DPQ=90°时,过点Q作QM⊥AB于点M,易得四边形BCQM为矩形.由题意,得AP=3x cm,BM=CQ=2x cm,MQ=BC=AD=6 cm,∠A=90°,则PM=(16-5x)cm,DQ=(16-2x)cm.由勾股定理,得PQ²=PM²+MQ²=(16-5x)²+6²,PD²=AP²+AD²=(3x)²+6²,DQ²=PQ²+PD²,所以(16-5x)²+6²+(3x)²+6²=(16-2x)²,解得x₁=2,x₂=$\frac{6}{5}$;②当∠DQP=90°时,易得AP+CQ=16 cm,所以3x+2x=16,解得x=$\frac{16}{5.}$综上,经过2 s或$\frac{6}{5}$ s或$\frac{16}{5}$ s时,△DPQ为直角三角形.