《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

21. (7 分)已知矩形种植区域 $ A B C D $ 如图所示,$ A B = 75 \mathrm { m } $,$ B C = 50 \mathrm { m } $.现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜,其余区域种植胡萝卜且 $ B E = D F = x \mathrm { m } $,胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半.
(1) $ E C = $(50−x)$ \mathrm { m } $,$ F P = $25$ \mathrm { m } $(用含 $ x $ 的代数式表示);
(2) 求 $ D F $ 的长.

(2)由(1),得EC=(50−x)m,FP=25m,且胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半,AB=75m,BC=50m.所以75×50−(50−x)²−25²=$\frac{1}{2}$×75×50,解得x₁=50+25$\sqrt{2}$,x₂=50−25$\sqrt{2}$,由题意，得x≤50,所以x=50−25$\sqrt{2}$.则DF的长为(50−25$\sqrt{2}$)m.

答案：
(1)(50−x)　25
(2)由
(1),得EC=(50−x)m,FP=25m,且胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半,AB=75m,BC=50m.所以75×50−(50−x)²−25²=$\frac{1}{2}$×75×50,解得x₁=50+25$\sqrt{2}$,x₂=50−25$\sqrt{2}$,由题意，得x≤50,所以x=50−25$\sqrt{2}$.则DF的长为(50−25$\sqrt{2}$)m.

22. (7 分)已知二次函数 $ y = ( x + 2 ) ( x - m ) $($ m $ 为常数).
(1) 该函数图像的顶点坐标是($\frac{m−2}{2}$,-$\frac{(m+2)^2}{4}$);
(2) 已知 $ A ( - 1, y _ { 1 } ) $,$ B ( 3, y _ { 2 } ) $ 是该函数图像上的两点.若 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $,求 $ m $ 的取值范围.
因为A(-1,y₁),B(3,y₂)两点在y=(x+2)(x−m)的图像上,所以y₁=-1−m,y₂=15−5m.又y₁＜y₂,所以-1−m＜15−5m,解得m＜4.则m的取值范围为m＜4.

答案：
(1)($\frac{m−2}{2}$,-$\frac{(m+2)^2}{4}$)
(2)因为A(-1,y₁),B(3,y₂)两点在y=(x+2)(x−m)的图像上,所以y₁=-1−m,y₂=15−5m.又y₁＜y₂,所以-1−m＜15−5m,解得m＜4.则m的取值范围为m＜4.

23. (8 分)如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ A B = A C $,$ \angle A = 36 ^ { \circ } $,$ B D $ 是 $ \triangle A B C $ 的角平分线.
(1) 求证:$ \triangle C B D \backsim \triangle C A B $;
(2) 若 $ A B = 1 $,求 $ A D $ 的长.

答案：
(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为∠A+∠ABC+∠C=180°,且∠A=36°,所以∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=72°.又BD平分∠ABC,所以∠DBC=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°.所以∠A=∠DBC.又∠C=∠C,所以△CBD∽△CAB.
(2)由
(1),得∠A=∠ABD=36°,△CBD∽△CAB,∠C=72°,所以AD=BD,$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$,∠BDC=∠A+∠ABD=72°,即∠C=∠BDC.所以BC=BD,即BC=BD=AD.设AD=x,则BC=x.又AB=AC,且AB=1,所以AC=1,即CD=1−x.所以$\frac{x}{1}$=$\frac{1−x}{x}$,解得x=$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$(负值已舍去).经检验，x=$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$是原方程的解.则AD的长为$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$.