《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

19. (8分)解下列方程:
(1)$x(x-7)= 8(7-x);$
(2)(2023·广东广州)$x^{2}-6x+5= 0;$
(3)$(x-1)^{2}= (2x+3)^{2};$
(4)$3x^{2}-1= 4x.$

答案： $(1)$解$x(x - 7)=8(7 - x)$
解：
将方程变形为$x(x - 7)+8(x - 7)=0$，
提取公因式$(x - 7)$得$(x - 7)(x + 8)=0$，
则$x - 7 = 0$或$x + 8 = 0$，
解得$x_{1}=7$，$x_{2}=-8$。
$(2)$解$x^{2}-6x + 5 = 0$
解：
对$x^{2}-6x + 5$因式分解，$x^{2}-6x + 5=(x - 1)(x - 5)=0$，
则$x - 1 = 0$或$x - 5 = 0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=5$。
$(3)$解$(x - 1)^{2}=(2x + 3)^{2}$
解：
移项得$(x - 1)^{2}-(2x + 3)^{2}=0$，
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a=x - 1$，$b = 2x + 3$，
则$[(x - 1)+(2x + 3)][(x - 1)-(2x + 3)]=0$，
即$(3x + 2)(-x - 4)=0$，
所以$3x + 2 = 0$或$-x - 4 = 0$，
由$3x + 2 = 0$得$x_{1}=-\frac{2}{3}$，由$-x - 4 = 0$得$x_{2}=-4$。
$(4)$解$3x^{2}-1 = 4x$
解：
将方程化为一般形式$3x^{2}-4x - 1 = 0$，
其中$a = 3$，$b = -4$，$c = -1$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×3×(-1)=16 + 12 = 28$，
则$x=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$，
所以$x_{1}=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。
综上，$(1)$ $x_{1}=7$，$x_{2}=-8$；$(2)$ $x_{1}=1$，$x_{2}=5$；$(3)$ $x_{1}=-\frac{2}{3}$，$x_{2}=-4$；$(4)$ $x_{1}=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。

20. (6分)(2023·青海)为了丰富学生课余生活,提高学生运算能力,数学小组设计了如下的解题接力游戏:
(1)解不等式组:$\left\{\begin{array}{l} 2x-1＜7,\\ x+1＞2;\end{array} \right. $
(2)当m取(1)中的一个整数解时,解方程:$x^{2}-2x-m= 0.$

答案：
(1)解不等式$2x-1＜7$,得$x＜4$;解不等式$x+1＞2$,得$x＞1$.则不等式组的解集为$1＜x＜4$.
(2)由
(1),得不等式组的解集为$1＜x＜4$,且$m$取其中的一个整数解,所以$m=2$或3.当$m=3$时,原方程化为$x^{2}-2x-3=0$,解得$x_{1}=3$,$x_{2}=-1$.则方程$x^{2}-2x-m=0$的解为$x_{1}=3$,$x_{2}=-1$.(或当$m=2$时,原方程化为$x^{2}-2x-2=0$,解得$x_{1}=1+\sqrt{3}$,$x_{2}=1-\sqrt{3}$.则方程$x^{2}-2x-m=0$的解为$x_{1}=1+\sqrt{3}$,$x_{2}=1-\sqrt{3}$)

21. (6分)(2024·四川遂宁)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m+2)x+m-1= 0.$
(1)求证:无论m取何值,该方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果该方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}\cdot x_{2}= 9$,求m的值.

答案：
(1)由题意,得$b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4(m-1)=m^{2}+8＞0$,所以无论$m$取何值,该方程都有两个不相等的实数根.
(2)由题意,得$x_{1}+x_{2}=m+2$,$x_{1}\cdot x_{2}=m-1$,所以$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}=(m+2)^{2}-2(m-1)=m^{2}+2m+6$.又$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}\cdot x_{2}=9$,所以$m^{2}+2m+6-(m-1)=9$,解得$m_{1}=-2$,$m_{2}=1$.则$m$的值为$-2$或1.

22. (6分)新素养 推理能力 已知$a＞2,b＞2$,试判断关于x的方程$x^{2}-(a+b)x+ab= 0与x^{2}-abx+(a+b)= 0$有没有公共根,并说明理由.

答案： 这两个方程没有公共根.理由如下:解方程$x^{2}-(a+b)x+ab=0$,得$x_{1}=a$,$x_{2}=b$.所以此方程的根分别为$a,b$.不妨假设这两个方程的公共根为$a$,把$x=a$代入方程$x^{2}-abx+(a+b)=0$中,得$a^{2}-a^{2}b+a+b=0$,整理,得$(a+1)(a+b-ab)=0$.因为$a＞2$,所以$a+b-ab=0$,解得$b=\frac{a}{a-1}$.又$b＞2$,所以$\frac{a}{a-1}＞2$,即$a＞2(a-1)$,解得$a＜2$,与$a＞2$矛盾.所以$a$不是这两个方程的公共根.同理,得$b$也不是这两个方程的公共根.则这两个方程没有公共根.