《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

24. (8 分)新趋势 情境素材 如图,四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c 是$Rt\triangle ABC和Rt\triangle BED$的三边长,易知$AE= \sqrt {2}c$,这时我们把关于 x 的形如$ax^{2}+\sqrt {2}cx+b= 0$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题:
(1) 当$a= 3$,且 a,b,c 为连续自然数时,写出一个“勾系一元二次方程”;
(2) 求证:关于 x 的“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt {2}cx+b= 0$必有实数根;
(3) 若$x= -1$是“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt {2}cx+b= 0$的一个根,且四边形 ACDE 的周长是$6\sqrt {2}$,求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)$3x^{2}+5\sqrt{2}x+4=0$.
(2)由题意,得方程根的判别式为$(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab$.因为a²+b²=c²,所以$2c^{2}-4ab=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a-b)^{2}\geq0$.则“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$必有实数根.
(3)由题意,把x=-1代入$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$中,得$a-\sqrt{2}c+b=0$,即$a+b=\sqrt{2}c$.因为四边形ACDE的周长是$6\sqrt{3}$,且AC=b,CD=a+b,DE=a,AE=$\sqrt{2}c$,所以$2a+2b+\sqrt{2}c=6\sqrt{2}$,即$3\sqrt{2}c=6\sqrt{2}$,解得c=2.所以a²+b²=c²=4,$a+b=2\sqrt{2}$.又(a+b)²=a²+b²+2ab=8,所以$ab=(8-4)×\frac{1}{2}=2$.则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=1$.

25. (8 分)新素养 推理能力 如图,正五边形 ABCDE 与$\odot O$相切于点 A,点 C 在$\odot O$上.
(1) 求证:直线 CD 是$\odot O$的切线;
(2) 若$\odot O$的半径为 5,求$\overset{\frown}{AC}$的长;
(3) 连接 AD 交$\odot O$于点 F,连接 CF. 求证:四边形 ABCF 是菱形.

答案：
(1) 证明：连接 OA、OC、OB、OD。
∵正五边形 ABCDE，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=108°。
∵OA=OC=OB=OD（半径），
∴△OAB≌△OBC≌△OCD（SSS）。
∴∠OAB=∠OCB=∠OCD。
∵AB 切⊙O 于 A，
∴OA⊥AB，∠OAB=90°。
∴∠OCD=90°，即 OC⊥CD。
∵OC 是半径，
∴CD 是⊙O 的切线。
(2) 解：由
(1)知∠OAB=∠OCD=90°，∠ABC=∠BCD=108°。
在四边形 OABC 中，∠AOC=360°-∠OAB-∠ABC-∠OCB=360°-90°-108°-90°=72°。
∴$\overset{\frown}{AC}$的长=$\frac{72\pi×5}{180}$=2π。
(3) 证明：连接 AF。
∵∠AOC=72°，
∴∠AFC=$\frac{1}{2}$∠AOC=36°（圆周角定理）。
∵正五边形 ABCDE，∠ABC=108°，AB=BC。
∴∠BAC=∠BCA=36°，
∴∠BAC=∠AFC=36°。
∴AB//CF（内错角相等）。
同理，∠CAD=36°，∠ACF=∠CAD=36°，
∴AF//BC。
∴四边形 ABCF 是平行四边形。
∵AB=BC，
∴平行四边形 ABCF 是菱形。

26. (8 分)已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}+2mx-n^{2}+5= 0$.
(1) 当$m= 1$时,该一元二次方程的一个根是 1,求 n 的值;$\pm2\sqrt{2}$
(2) 当该一元二次方程有两个相等的实数根时.
① 求 m,n 满足的关系式;$m^{2}+n^{2}=5$
② 在平面直角坐标系中,O 为原点,在 x 轴上取点 H,使$OH= |m|$,过点 H 作 x 轴的垂线 l,在垂线 l 上取点 P,使$PH= |n|$,则点 P 到点$(3,4)$的距离的最小值是______.$5-\sqrt{5}$

答案：
(1)由题意,把m=1,x=1代入原方程,得$1+2-n^{2}+5=0$,解得$n=\pm2\sqrt{2}$.则n的值为$\pm2\sqrt{2}$.
(2)①由题意,得b²-4ac=$4m^{2}-4×(-n^{2}+5)=0$,整理,得m²+n²=5.
②$5-\sqrt{5}$ 解析:连接OP.因为OH=|m|,PH=|n|,所以在Rt△POH中,由勾股定理,得OP=$\sqrt{OH^{2}+PH^{2}}=\sqrt{m^{2}+n^{2}}$.由
(2)①,得m²+n²=5,所以OP=$\sqrt{5}$,即点P在以点O为圆心,$\sqrt{5}$为半径的圆上.所以当P是原点和点(3,4)连接的线段与⊙O的交点时,点P到点(3,4)的距离最小.因为原点到点(3,4)的距离为$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,所以点P到点(3,4)的距离的最小值是$5-\sqrt{5}$.