《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

7. (2024·新疆)若关于x的一元二次方程$x^{2}+3x+k= 0$有两个不相等的实数根,则k的取值范围是$k＜\frac{9}{4}$.

答案： $k＜\frac{9}{4}$

8. 亮点原创若关于x的一元二次方程$kx^{2}-2x+\frac {1}{2}= 0$没有实数根,则反比例函数$y= \frac {k^{2}-3k+2}{x}$的图像在第一、三象限.

答案： 一、三

9. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}+2x+2-c= 0$有两个相等的实数根,则$\frac {1}{a}+c$的值为2.

答案： 2

10. (2025·江苏盐城期末)已知关于x的方程$mx^{2}+x-m+1= 0$有以下三个结论:① 当$m= 0$时,方程只有一个实数解;② 当$m≠0$时,方程有两个不相等的实数解;③ 无论m取何值,方程都有一个负数解.其中正确的是______.(填序号)①③

答案： ①③

11. 新素养运算能力已知在等腰三角形ABC中,$∠A,∠B,∠C$的对边长分别是a,b,c.若$a= 3$,b和c是关于x的方程$x^{2}+mx+2-\frac {1}{2}m= 0$的两个实数根,则$\triangle ABC$的周长为$\frac{37}{5}$或7.

答案： $\frac{37}{5}$或7

12. 若关于x的方程$|x^{2}-2x-3|= a$有且仅有两个实数根,则实数a的取值范围是a＞4或a=0.

答案： a＞4或a=0 解析:由题意,得a≥0.当a=0时,方程化为|x²-2x-3|=0,即x²-2x-3=0.则(-2)²-4×1×(-3)=16＞0.所以该方程有且仅有两个实数根;当a＞0时,方程化为x²-2x-3+a=0或x²-2x-(3+a)=0.因为(-2)²-4×1·[-(3+a)]=4a+16＞0,所以方程x²-2x-(3+a)=0有两个不相等的实数根.又原方程有且仅有两个实数根,所以方程x²-2x-3+a=0无实数根,即(-2)²-4×1·(-3+a)＜0,解得a＞4.综上,a的取值范围是a＞4或a=0.

13. (10分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x-3m^{2}= 0$.
(1) 求证:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2) 若方程的两个实数根分别为α,β,且$\alpha +2\beta =5$,求m的值.

答案：
(1)由题意,得b²-4ac=(-2)²-4×1·(-3m²)=12m²+4＞0,所以无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)由题意,得α+β=2.又α+2β=5,所以β=3.把β=3代入x²-2x-3m²=0中,得9-6-3m²=0,解得m=±1.则m的值为±1.

14. (12分)(2024·四川南充)已知$x_{1},x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2kx+k^{2}-k+1= 0$的两个不相等的实数根.
(1) 求k的取值范围;
(2) 若$k＜5$,且k,$x_{1},x_{2}$都是整数,求k的值.

答案：
(1)因为原方程有两个不相等的实数根,所以b²-4ac=(-2k)²-4(k²-k+1)＞0,解得k＞1.则k的取值范围为k＞1.
(2)由
(1),得k的取值范围为k＞1,且k＜5,k为整数,所以k所有可能的取值为2,3,4.当k=2时,原方程化为x²-4x+3=0,解得x₁=1,x₂=3;当k=3时,原方程化为x²-6x+7=0,解得$x₁=\sqrt{2}+3$,$x₂=3-\sqrt{2}$;当k=4时,原方程化为x²-8x+13=0,解得$x₁=4+\sqrt{3}$,$x₂=4-\sqrt{3}$.又x₁,x₂均为整数,所以k=2.综上,k的值为2.