《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

28. (10分)新趋势 推导探究 已知开口向上的抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(ac \lt 0) $与 $ x $轴交于 $ A $, $ B $两点(点 $ A $在点 $ B $的左侧),与 $ y $轴交于点 $ C $,且 $ OB = 4OA $。
(1) 若点 $ A $的坐标是 $ (-1, 0) $,点 $ C $的坐标是 $ (0, -4) $,试求该抛物线的函数表达式；
(2) 若 $ OB = OC $, $ M $, $ N $分别是对称轴右侧抛物线上的两点(点 $ M $在点 $ N $的右侧),连接 $ AM $, $ AN $, $ MN $, $ MN $交 $ x $轴于点 $ P $, $ K $是 $ MN $的中点。若 $ \triangle ANM $的内心在 $ x $轴上,点 $ K $的纵坐标为 $ n $,求 $ PB $的长(用含 $ n $的代数式表示)。

答案： （1）因为点$A$的坐标为$(-1,0)$，所以$OA = 1$。因为$OB = 4OA$，点$A$在点$B$的左侧，所以$OB = 4$，即点$B$的坐标为$(4,0)$。将$A(-1,0)$，$B(4,0)$，$C(0,-4)$分别代入$y = ax^{2} + bx + c$中，得$\begin{cases}a - b + c = 0\\16a + 4b + c = 0\\c = -4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -3\\c = -4\end{cases}$，所以该抛物线的函数表达式为$y = x^{2} - 3x - 4$。
（2）由题意，得点$A$在$x$轴负半轴上，点$B$在$x$轴正半轴上，所以设点$A$的坐标为$(-m,0)$（$m \gt 0$）。则$OA = m$。因为$OB = 4OA$，$OB = OC$，$ac \lt 0$，$a \gt 0$，所以$c \lt 0$，$OB = OC = 4m$，即点$B$的坐标为$(4m,0)$，点$C$的坐标为$(0,-4m)$。设抛物线的函数表达式为$y = a(x + m)(x - 4m)$。将点$C(0,-4m)$的坐标代入，得$a\cdot m\cdot(-4m) = -4m$，解得$am = 1$。所以$m = \frac{1}{a}$。设直线$AM$的函数表达式为$y = k(x + m)$。联立方程组，得$\begin{cases}y = k(x + m)\\y = a(x + m)(x - 4m)\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1 = -m\\y_1 = 0\end{cases}$（舍去），$\begin{cases}x_2 = 4m + \frac{k}{a}\\y_2 = 5mk + \frac{k^{2}}{a}\end{cases}$。所以$4m + \frac{k}{a} = mk + 4m$，$5mk + \frac{k^{2}}{a} = mk^{2} + 5mk$，即点$M$的坐标为$(mk + 4m,mk^{2} + 5mk)$。又$\triangle ANM$的内心在$x$轴上，所以$AP$平分$\angle MAN$。又点$P$在$x$轴上，所以直线$AM$和直线$AN$关于$x$轴对称，即直线$AN$的函数表达式为$y = -k(x + m)$。联立方程组，得$\begin{cases}y = -k(x + m)\\y = a(x + m)(x - 4m)\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_3 = -m\\y_3 = 0\end{cases}$（舍去），$\begin{cases}x_4 = -\frac{k}{a} + 4m\\y_4 = \frac{k^{2}}{a} - 5km\end{cases}$。所以$-\frac{k}{a} + 4m = -mk + 4m$，$\frac{k^{2}}{a} - 5km = mk^{2} - 5mk$，即点$N$的坐标为$(-mk + 4m,mk^{2} - 5mk)$。又$K$为$MN$的中点，所以点$K$的坐标为$(\frac{mk + 4m - mk + 4m}{2},\frac{mk^{2} + 5mk + mk^{2} - 5mk}{2})$，即$(4m,mk^{2})$。设直线$MN$的函数表达式为$y = nx + h$。将$M$，$N$两点的坐标分别代入，得$\begin{cases}(mk + 4m)n + h = mk^{2} + 5mk\\(-mk + 4m)n + h = mk^{2} - 5mk\end{cases}$，解得$\begin{cases}n = 5\\h = mk^{2} - 20m\end{cases}$。所以直线$MN$的函数表达式为$y = 5x + mk^{2} - 20m$。令$y = 0$，得$5x + mk^{2} - 20m = 0$解得$x = 4m - \frac{1}{5}mk^{2}$。所以点$P$的坐标为$(4m - \frac{1}{5}mk^{2},0)$，即$OP = 4m - \frac{1}{5}mk^{2}$。所以$PB = OB - OP = 4m - (4m - \frac{1}{5}mk^{2}) = \frac{1}{5}mk^{2}$。又点$K$的纵坐标为$n$，所以$n = mk^{2}$。所以$PB = \frac{1}{5}n$。