《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

9. (2023·山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,$\odot A与x轴相切于点B$,$CB为\odot A$的直径,点$C在函数y= \frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图像上,$D为y$轴上一点,$\triangle ACD$的面积为6,则$k$的值为______24.

答案： 24

10. 如图,在扇形$OAB$中,$C,D两点都在\overgroup{AB}$上,将$\overgroup{CD}沿弦CD翻折后恰好与OA,OB相切于E,F$两点.若$\angle AOB= 120^{\circ},OA= 6$,则$CD$的长为4$\sqrt{6}$.

答案： 4$\sqrt{6}$

11. 新素养 几何直观 如图,在$Rt\triangle AOB$中,$\angle AOB= 90^{\circ},OA= OB= 4\sqrt{2}$,$\odot O$的半径为2,$P为边AB$上的一动点,连接$OP$,过点$P作\odot O的一条切线PQ$($Q$为切点),则线段$PQ$的长的最小值为______2$\sqrt{3}$.

答案： 2$\sqrt{3}$

12. 如图,点$I为\triangle ABC$的内心,连接$AI$并延长,交$\triangle ABC的外接圆于点D$,连接$CD$,$AI= 2CD$,$E为弦AC$的中点,连接$EI,IC$.若$IC= 6,ID= 5$,则$IE$的长为______4.

答案： 4　解析:如图，延长ID到点M，使DM=ID，连接CM.因为I是△ABC的内心，所以∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB.因为∠BCD=∠BAD，∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，所以∠DIC=∠DCI.所以ID=CD,即CD=DM.所以∠DMC=∠DCM.所以∠DIC+∠DCI+∠DCM+∠DMC=2∠DCI+2∠DCM=180°.所以∠DCI+∠DCM=90°，即∠ICM=90°.又IC=6，ID=5，所以IM=2ID=10.在Rt△ICM中，由勾股定理，得CM=$\sqrt{IM^2-IC^2}$=8.因为AI=2CD，所以AI=IM，即I为AM的中点.又E为AC的中点，所以IE是△ACM的中位线，即IE=$\frac{1}{2}$CM=4.

13. (10分)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC,\angle C= 90^{\circ},\angle B= 45^{\circ}$,以点$D$为圆心,$DC的长为半径的圆交AD于点E$.若$AB= 2\sqrt{2},AD= 2\sqrt{3}$,判断$AB所在直线与\odot D$的位置关系,并说明理由.

答案： AB所在直线与⊙D相离.理由如下:如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BA，交BA的延长线于点N，则∠DNA=∠AMB=∠AMC=90°.又AD//BC，∠C=90°，所以∠ADC+∠C=180°，即∠ADC=90°.所以四边形AMCD是矩形，即CD=AM.因为∠B=45°，所以∠DAN=∠B=45°.所以△ABM和△DAN都是等腰直角三角形，即AM=BM，AN=DN.由勾股定理，得AB=$\sqrt{AM^2+BM^2}$=$\sqrt{2}$AM，AD=$\sqrt{AN^2+DN^2}$=$\sqrt{2}$DN.又AB=2$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{3}$，所以AM=2，DN=$\sqrt{6}$.所以CD=2，即⊙D的半径为2.因为$\sqrt{6}$＞2，所以AB所在直线与⊙D相离.

14. (10分)(2024·山东威海)如图,$AB是\odot O$的直径,$C,D两点都在\odot O$上,且$BC= CD$,$E是线段AB$延长线上一点,连接$EC$并延长,交射线$AD于点F$,$\angle FEG的平分线EH交射线AC于点H$,$\angle H= 45^{\circ}$.
(1) 求证:直线$EF是\odot O$的切线;
(2) 若$BE= 2,CE= 4$,求$AF$的长.

答案：
(1)连接OC.因为OA=OC，所以∠BAC=∠OCA.又BC=CD，所以$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，即∠BAC=∠CAF.所以∠EAF=2∠BAC，∠CAF=∠OCA，即OC//AF.所以∠OCE=∠F.又EH平分∠FEG，所以∠FEG=2∠HEG.又∠FEG=∠F+∠EAF，∠HEG=∠H+∠BAC，所以2∠HEG=2∠H+2∠BAC，即∠F=2∠H.又∠H=45°，所以∠F=90°.所以∠OCE=90°，即OC⊥EF.又OC是⊙O的半径，所以直线EF是⊙O的切线.
(2)过点C作CM⊥AB于点M，则∠AMC=∠OMC=90°.由
(1)，得∠F=∠OCE=90°，∠BAC=∠CAF，所以∠F=∠AMC.设⊙O的半径为r，则OA=OB=OC=r.又BE=2，CE=4，所以OE=OB+BE=r+2.在Rt△COE中，由勾股定理，得OC²+CE²=OE²，所以r²+4²=(r+2)²，解得r=3.则OA=OC=3，OE=5.又S△COE=$\frac{1}{2}$OC·CE=$\frac{1}{2}$CM·OE，所以CM=$\frac{OC·CE}{OE}$=$\frac{12}{5}$.在Rt△OCM中，由勾股定理，得OM=$\sqrt{OC^2-CM^2}$=$\frac{9}{5}$，所以AM=OA+OM=$\frac{24}{5}$.又AC=AC，所以△ACF≌△ACM (AAS).所以AF=$\frac{24}{5}$.