《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

23. (6分)重庆小面是重庆美食的名片之一,深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面,顾客可到店食用(简称“堂食”小面),也可购买搭配佐料的袋装生面(简称“生食”小面).已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元,4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元.
(1)每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元?
(2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份,“生食”小面2500份.为回馈广大食客,该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变,每份“生食”小面的价格降低$\frac {3}{4}a\%$.统计5月的销量和销售额发现:“堂食”小面的销量与4月相同,“生食”小面的销量在4月的基础上增加$\frac {5}{2}a\%$,这两种小面的总销售额在4月的基础上增加$\frac {5}{11}a\%$.求a的值.

答案：
(1)设每份“堂食”小面价格是的$x$元每份，“生食”小面的价格是$y$元由题意得$\begin{cases}3x+2y=31,\\4x+y=33,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=7,\\y=5.\end{cases}$则每份“堂食”小面 的价格7元，每份“生食”小面的价格是5元。
(2)由题意,得$4500×7+2500\cdot\left(1+\frac{5}{2}a\%\right)×5\left(1-\frac{3}{4}a\%\right)=(4500×7+2500×5)\cdot\left(1+\frac{5}{11}a\%\right)$,整理,得$25(a\%)^{2}-2\cdot a\%=0$,解得$a\%=\frac{2}{25}=8\%$或$a\%=0$(舍去).则$a$的值为8.

24. (6分)阅读材料:各类方程的解法.
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为$x= a$的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解.类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,即把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程$x^{3}+x^{2}-2x= 0$,可以通过因式分解把它转化为$x(x^{2}+x-2)= 0$,解方程$x= 0和x^{2}+x-2= 0$,可得方程$x^{3}+x^{2}-2x= 0$的解.
(1)问题:方程$x^{3}+x^{2}-2x= 0的解是x_{1}= 0,x_{2}= $$-2$,$x_{3}= $1;
(2)拓展:用“转化”思想求方程$\sqrt {2x+3}= x$的解;
方程两边平方得$2x +3=x^{2}$,即$x^{2}-2x-3=0$,解得$x_{1}=3$,$x_{2}=-1$.当$x=-1$时,方程左边$=1$,右边$=-1$,左边$\neq$右边,不符合题意,舍去;当$x=3$时方程左边$=3$,右边$=3$,左边$=$右边,符合题意.则原方程解$x=3$.
(3)应用:如图,矩形草坪ABCD的长$AD= 8m$,宽$AB= 3m$,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边PD,DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.

设$AP=x\ \text{m}$.因为四边形$ABCD$是矩形,$AD=8\ \text{m}$,$AB=3\ \text{m}$,所以$\angle A=\angle D=90^{\circ}$,$BC=AD=8\ \text{m}$,$CD=AB=3\ \text{m}$.所以$PD=(8-x)\ \text{m}$.在$\text{Rt}\triangle ABP$和$\text{Rt}\triangle CDP$中,由勾股定理,得$BP=\sqrt{x^{2}+9}\ \text{m}$,$CP=\sqrt{(8-x)^{2}+9}\ \text{m}$.因为$BP+CP=10\ \text{m}$,所以$\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{(8-x)^{2}+9}=10$,即$\sqrt{(8-x)^{2}+9}=10-\sqrt{x^{2}+9}$.两边平方,得$(8-x)^{2}+9=100+x^{2}+9-20\sqrt{x^{2}+9}$.整理,得$5\sqrt{x^{2}+9}=4x+9$.两边平方,得$25(x^{2}+9)=(4x+9)^{2}$.整理,得$x^{2}-8x+16=0$,解得$x_{1}=x_{2}=4$.经检验,$x=4$符合题意.则$AP$的长为$4\ \text{m}$.

答案：
(1)$-2$ 1(或1 $-2$)
(2)方程两边平方得$2x +3=x^{2}$,即$x^{2}-2x-3=0$,解得$x_{1}=3$,$x_{2}=-1$.当$x=-1$时,方程左边$=1$,右边$=-1$,左边$\neq$右边,不符合题意,舍去;当$x=3$时方程左边$=3$,右边$=3$,左边$=$右边,符合题意.则原方程解$x=3$.
(3)设$AP=x\ \text{m}$.因为四边形$ABCD$是矩形,$AD=8\ \text{m}$,$AB=3\ \text{m}$,所以$\angle A=\angle D=90^{\circ}$,$BC=AD=8\ \text{m}$,$CD=AB=3\ \text{m}$.所以$PD=(8-x)\ \text{m}$.在$\text{Rt}\triangle ABP$和$\text{Rt}\triangle CDP$中,由勾股定理,得$BP=\sqrt{x^{2}+9}\ \text{m}$,$CP=\sqrt{(8-x)^{2}+9}\ \text{m}$.因为$BP+CP=10\ \text{m}$,所以$\sqrt{x^{2}+9}+\sqrt{(8-x)^{2}+9}=10$,即$\sqrt{(8-x)^{2}+9}=10-\sqrt{x^{2}+9}$.两边平方,得$(8-x)^{2}+9=100+x^{2}+9-20\sqrt{x^{2}+9}$.整理,得$5\sqrt{x^{2}+9}=4x+9$.两边平方,得$25(x^{2}+9)=(4x+9)^{2}$.整理,得$x^{2}-8x+16=0$,解得$x_{1}=x_{2}=4$.经检验,$x=4$符合题意.则$AP$的长为$4\ \text{m}$.