《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

26. (12分)新趋势 推导探究 如图,在平面直角坐标系中,抛物线L_{1}:y= -x^{2}+bx+c与x轴交于O(0,0),A(6,0)两点.
(1) 求抛物线L_{1}的函数表达式;
(2) 若(k,y_{1})和(4-k,y_{2})是抛物线L_{1}上不同的两个点,设w= y_{1}+y_{2},求w关于k的函数表达式,并证明:w＜16;
(3) 将抛物线L_{1}向右平移t(t＞0)个单位长度得到抛物线L_{2},抛物线L_{2}与x轴交于B,C两点(点B在点C的左侧).① 若A,B是线段OC的三等分点,则t的值为______;② 若A,B两点重合,则抛物线L_{2}的函数表达式为______;③ 在(3)②的条件下,过抛物线L_{1}第一象限内一点M作直线MA,交抛物线L_{2}于点N.设点M的横坐标为m,点N的横坐标为n,判断n-m的值是否为定值? 若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

[答案]：(1)由题意，将O(0,0)，A(6,0)两点的坐标分别代入y=-x² + bx + c中，得{c=0, -36 + 6b + c=0}，解得{b=6, c=0}。所以抛物线L₁的函数表达式为y=-x² + 6x。
(2)由
(1)，得抛物线L₁的函数表达式为y=-x² + 6x，且点(k,y₁)和点(4 - k,y₂)都在抛物线L₁上，所以y₁=-k² + 6k，y₂=-(4 - k)² + 6(4 - k)。又w=y₁ + y₂，所以w=-k² + 6k + [-(4 - k)² + 6(4 - k)]=-2k² + 8k + 8=-2(k - 2)² + 16。由题意，得k≠4 - k，所以k≠2。所以 -2(k - 2)² + 16＜16，即w＜16。
(3)①3或12②y=-(x - 9)² + 9(或y=-x² + 18x -72 或y=-(x - 6)(x - 12))③n - m的值是定值。由题意，得点M的坐标为(m,-m² + 6m)。设直线MA的函数表达式为y=k(x - 6)。将M(m,-m² + 6m)代入，得k(m - 6)=-m² + 6m，解得k=-m。所以直线MA的函数表达式为y=-mx + 6m。由
(3)②，得抛物线L₂的函数表达式为y=-x² + 18x -72。令 -mx + 6m=-x² + 18x -72，解得x₁=6，x₂=m + 12。所以点N的横坐标为m + 12。又点N的横坐标为n，所以m + 12=n，即n - m=12。所以n - m的值是定值，且该定值为12。

答案：
(1)由题意，将O(0,0)，A(6,0)两点的坐标分别代入y=-x² + bx + c中，得{c=0, -36 + 6b + c=0}，解得{b=6, c=0}。所以抛物线L₁的函数表达式为y=-x² + 6x。
(2)由
(1)，得抛物线L₁的函数表达式为y=-x² + 6x，且点(k,y₁)和点(4 - k,y₂)都在抛物线L₁上，所以y₁=-k² + 6k，y₂=-(4 - k)² + 6(4 - k)。又w=y₁ + y₂，所以w=-k² + 6k + [-(4 - k)² + 6(4 - k)]=-2k² + 8k + 8=-2(k - 2)² + 16。由题意，得k≠4 - k，所以k≠2。所以 -2(k - 2)² + 16＜16，即w＜16。
(3)①3或12 ②y=-(x - 9)² + 9(或y=-x² + 18x -72 或y=-(x - 6)(x - 12))③n - m的值是定值。由题意，得点M的坐标为(m,-m² + 6m)。设直线MA的函数表达式为y=k(x - 6)。将M(m,-m² + 6m)代入，得k(m - 6)=-m² + 6m，解得k=-m。所以直线MA的函数表达式为y=-mx + 6m。由
(3)②，得抛物线L₂的函数表达式为y=-x² + 18x -72。令 -mx + 6m=-x² + 18x -72，解得x₁=6，x₂=m + 12。所以点N的横坐标为m + 12。又点N的横坐标为n，所以m + 12=n，即n - m=12。所以n - m的值是定值，且该定值为12。