《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

9. 如图,$ l _ { 1 } // l _ { 2 } // l _ { 3 } $,$ \frac { A B } { B C } = \frac { 3 } { 2 } $.若 $ D E = 6 $,则 $ D F = $10.

答案： 10

10. 如图,以 $ AB $ 为直径的半圆经过 $ \triangle A D E $ 的顶点 $ D,E $,点 $ C $ 在 $ AB $ 上,$ A C = A D $,连接 $ C D $.若 $ \angle A D C = 80 ^ { \circ } $,则 $ \angle A E D = $110$ ^ { \circ } $.

答案： 110

11. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ 的两根分别为 $ \sqrt { 2 } + 1 $ 和 $ \sqrt { 2 } - 1 $,则 $ c = $1.

答案： 1

12. 某村 2022 年和 2024 年水稻平均每公顷的产量分别为 $ 7200 \mathrm { kg },8450 \mathrm { kg } $,设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 $ x $,则可列方程为7200(1+x)²=8450.

答案： 7200(1+x)²=8450

13. 甲、乙、丙三人各自通过 APP 买到某演唱会门票,三张票的座位是连续的,记甲、乙座位相邻的概率为 $ P _ { 1 } $,甲、乙座位不相邻的概率为 $ P _ { 2 } $,则 $ P _ { 1 } $＞$ P _ { 2 } $.(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)

答案： ＞

14. 若一个圆锥的主视图是边长为 6 的等边三角形,则该圆锥侧面展开图的面积是18π.

答案： 18π

15. 平面内 $ A,B,C,D,E $ 五点(任意三点不共线)如图所示,则过A,E,C三点所画的圆的半径最大.(从中选填三个点)

答案： A,E,C

16. 如图,在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ \angle C = 90 ^ { \circ } $,$ A C = 3 $,$ B C = 4 $,以边 $ A B $ 上一点 $ O $ 为圆心,作 $ \odot O $ 与边 $ A C $ 相切.若 $ \odot O $ 与边 $ B C $ 只有一个公共点,则 $ O A $ 的长的取值范围是______OA=$\frac{15}{7}$或$\frac{25}{9}$＜OA≤5.

答案： OA=$\frac{15}{7}$或$\frac{25}{9}$＜OA≤5　解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理,得AB=$\sqrt{AC²+BC²}$=5.所以cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$,tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$,设⊙O的半径为r,过点O作OD⊥AC于点D,则OD=r.因为⊙O与边BC只有一个交点,所以分两种情况讨论:①当⊙O与BC相切时,过点O作OE⊥BC于点E,则OE=r.易得此时四边形ODCE为正方形.所以CE=OD=OE=r,即BE=BC−CE=4−r.在Rt△BOE中,tanB=$\frac{OE}{BE}$=$\frac{3}{4}$,所以$\frac{r}{4−r}$=$\frac{3}{4}$,解得r=$\frac{12}{7}$.经检验，r=$\frac{12}{7}$是原方程的解,因为OD⊥AC，所以∠ODA=90°,即∠ODA=∠C.所以OD//BC,即∠AOD=∠B.所以cos∠AOD=cosB=$\frac{4}{5}$.所以OA=$\frac{OD}{cos∠AOD}$=$\frac{15}{7}$;②当⊙O恰好经过点B时,此时OB=OD=r.所以OA=5−r.又cos∠AOD=$\frac{OD}{OA}$,所以$\frac{r}{5−r}$=$\frac{4}{5}$,解得r=$\frac{20}{9}$.经检验,r=$\frac{20}{9}$是原方程的解.所以OA=$\frac{25}{9}$.又点O在线段AB上，所以OA≤5,即$\frac{25}{9}$＜OA≤5时符合题意.综上，OA的长的取值范围为OA=$\frac{15}{7}$或$\frac{25}{9}$＜OA≤5.

17. (8 分)解下列方程:
(1) $ x ^ { 2 } - 4 x - 3 = 0 $;
(2) $ ( x - 2 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } $.

答案： $(1)$ 解方程$x^{2}-4x - 3 = 0$
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}-4x - 3 = 0$中，$a = 1$，$b = - 4$，$c = - 3$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×(-3)=16 + 12=28$。
再将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{2}=2\pm\sqrt{7}$。
$(2)$ 解方程$(x - 2)^{2}=(2x + 3)^{2}$
解：移项可得$(x - 2)^{2}-(2x + 3)^{2}=0$。
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a=x - 2$，$b=2x + 3$，则原方程可化为$[(x - 2)+(2x + 3)][(x - 2)-(2x + 3)]=0$。
即$(3x + 1)(-x - 5)=0$。
那么$3x + 1 = 0$或$-x - 5 = 0$。
当$3x + 1 = 0$时，$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$；
当$-x - 5 = 0$时，$-x=5$，解得$x=-5$。
综上，$(1)$方程的解为$x_{1}=2+\sqrt{7}$，$x_{2}=2-\sqrt{7}$；$(2)$方程的解为$x_{1}=-\frac{1}{3}$，$x_{2}=-5$。

18. (6 分)如图,在以点 $ O $ 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 $ A B $ 交小圆于 $ C,D $ 两点.求证:$ A C = B D $.

答案： 过点O作OE⊥AB于点E,则AE=BE,CE=DE.所以AE−CE=BE−DE,即AC=BD.