《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

7. 新素养 几何直观 (2023·四川广安)如图,在等腰直角三角形ABC中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= BC= 2\sqrt {2}$,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点E,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交AB于点F,则图中阴影部分的面积为 (C)

A.$π-2$
B.$2π-2$
C.$2π-4$
D.$4π-4$

答案： C

8. 亮点原创·如图,在平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合,B,E两点分别在反比例函数$y= \frac {16}{x}$位于第一、三象限的图像上.当B,E两点在反比例函数的图像上运动时,正六边形ABCDEF的内切圆半径的最小值为 (D)
A.4
B.$2\sqrt {2}$
C.$2\sqrt {3}$
D.$2\sqrt {6}$

答案： D

9. 如图,AB是$\odot O$的直径,BC是$\odot O$的弦,先将$\widehat {BC}$沿BC翻折交AB于点D,再将$\widehat {BD}$沿AB翻折交BC于点E.若$\widehat {BE}= \widehat {DE}$,设$∠ABC= α$,则α的度数所在范围是 ( )

A.$21.9^{\circ }＜α＜22.3^{\circ }$
B.$22.3^{\circ }＜α＜22.7^{\circ }$
C.$22.7^{\circ }＜α＜23.1^{\circ }$
D.$23.1^{\circ }＜α＜23.5^{\circ }$

答案：
B 解析:如图,连接 AC,DC,DE.因为$\widehat {BE}=\widehat {DE}$,所以$∠EDB=∠EBD$.又$∠EBD=α$,所以$∠EDB=α$.又$∠DEC=∠EDB+∠EBD$,所以$∠DEC=2α$.又$∠ABC=∠EBD$,所以$AC=DC=DE$,即$∠DCE=∠DEC=2α$,$∠A=∠ADC$.又$∠ADC=∠EBD+∠DCE$,所以$∠A=∠ADC=3α$.因为 AB 是$\odot O$的直径,所以$∠ACB=90^{\circ }$,即$∠A+∠ABC=90^{\circ }$.所以$3α+α=90^{\circ }$,解得$α=22.5^{\circ }$.则α的度数所在范围是$22.3^{\circ }＜α＜22.7^{\circ }$.

10. 已知半径为5的$\odot O$是锐角三角形ABC的外接圆,$AB= AC$,连接OB,OC,延长CO交弦AB于点D.若$\triangle OBD$是直角三角形,则弦BC的长为 ( )

A.$5\sqrt {3}或5\sqrt {2}$
B.$5\sqrt {3}$
C.$5\sqrt {2}$
D.10

答案：
A 解析:因为$\triangle ABC$是锐角三角形,所以$∠DBO$不可能等于$90^{\circ }$.所以有$∠ODB=90^{\circ }$和$∠DOB=90^{\circ }$两种情况.分类讨论如下:① 如图①,连接 OA.当$∠ODB=90^{\circ }$,即$CD⊥AB$时.因为$OA=OB$,所以$AD=BD=\frac {1}{2}AB$.所以$AC=BC$.因为$AB=AC$,所以$AB=BC=AC$,即$\triangle ABC$是等边三角形.所以$∠DBO=30^{\circ }$.因为$OB=5$,所以$OD=\frac {1}{2}OB=\frac {5}{2}$.在$Rt\triangle BOD$中,由勾股定理,得$BD=\sqrt {OB^{2}-OD^{2}}=\frac {5\sqrt {3}}{2}$.所以$BC=AB=2BD=5\sqrt {3}$;② 如图②,当$∠DOB=90^{\circ }$时.因为$∠DOB+∠BOC=180^{\circ }$,所以$∠BOC=180^{\circ }-∠DOB=90^{\circ }$.在$Rt\triangle BOC$中,$OB=OC=5$,由勾股定理,得$BC=\sqrt {OB^{2}+OC^{2}}=5\sqrt {2}$.综上,弦 BC 的长为$5\sqrt {3}$或$5\sqrt {2}$.

11. (2024·黑龙江龙东地区)如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,AD是$\odot O$的直径.若$∠B= 25^{\circ }$,则$∠CAD= $65$^{\circ }$.

答案： 65

12. (2023·北京)如图,OA是$\odot O$的半径,BC是$\odot O$的弦,$OA⊥BC$于点D,AE是$\odot O$的切线,AE交OC的延长线于点E.若$∠AOC= 45^{\circ },BC= 2$,则线段AE的长为______$\sqrt{2}$.

答案： $\sqrt {2}$

13. (2024·山东烟台)如图,在边长为6的正六边形ABCDEF中,以点F为圆心,FB的长为半径作$\widehat {BD}$,剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径为______$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt {3}$

14. (2025·江苏南京期末)如图,AB是半圆O的直径,半圆的半径为4,C,D两点在半圆(不与A,B两点重合)上,$OC⊥AB,\widehat {BD}= 2\widehat {CD}$,P是OC上一个动点,连接BP,DP,则$BP+DP$的最小值为$4\sqrt {3}$.

答案： $4\sqrt {3}$

15. (2023·黑龙江绥化)如图,$\odot O$的半径为2 cm,AB为$\odot O$的弦,C为$\widehat {AB}$上一点,将$\widehat {AB}$沿弦AB翻折,恰好使点C与圆心O重合,则图中阴影部分的面积为$(\frac {2π}{3}-\sqrt {3})cm^{2}$.

答案： $(\frac {2π}{3}-\sqrt {3})cm^{2}$