《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

15. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC= 1,点P在以斜边AB为直径的圆上,M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径是$\frac{\sqrt{2}\pi}{4}$.

答案： $\frac{\sqrt{2}\pi}{4}$

16. (2023·山东菏泽)如图,在四边形ABCD中,∠ABC= ∠BAD= 90°,AB= 5,AD= 4,AD//BC,点E在线段BC上运动,点F在线段AE上,∠ADF= ∠BAE,则线段BF的长的最小为$\sqrt{29}-2$.

答案： $\sqrt{29}-2$

17. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,I为△ABC的内心,连接AI,BI,OI,OI⊥AI.若AB= 10,则BI的长为______.

$2\sqrt{10}$

答案： $2\sqrt{10}$ 解析:如图，延长AI交⊙O于点M，连接BM.因为AB是⊙O的直径，所以∠AMB = 90°.因为I为△ABC的内心,所以AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,即∠IAO = ∠IAC = ∠CBM,∠IBO = ∠IBC.因为∠MIB = ∠IAO + ∠IBO,∠MBI = ∠CBM + ∠IBC,所以∠MIB = ∠MBI.所以IM = BM.又OI⊥AI,所以AI = IM.所以AM = 2IM,即AM = 2BM.设BM = x,则IM = x,AM = 2x.在Rt△AMB中,AB = 10,由勾股定理，得AB² = AM² + BM²,所以10² = (2x)² + x²,解得$x = 2\sqrt{5}$(负值已舍去).所以$IM = BM = 2\sqrt{5}$.在Rt△MBI中，由勾股定理，得$BI = \sqrt{BM^2 + IM^2}=2\sqrt{10}$.

18. 新素养 模型观念 如图,小圆O的半径为$1,△A_1B_1C_1,△A_2B_2C_2,△A_3B_3C_3,…,△AₙBₙCₙ(n$为正整数)依次为同心圆O的内接正三角形和外切正三角形,由弦$A_1C_1$和弧$A_1C_1$围成的弓形面积(阴影部分)记为$S_1,$由弦$A_2C_2$和弧$A_2C_2$围成的弓形面积记为$S_2……$由此下去,弦AₙCₙ和弧AₙCₙ围成的弓形面积记为Sₙ,则$S_2₀_2_5$等于______$2^{4046}(\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3})$.

答案： $2^{4046}(\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3})$ 解析:连接OA₁,OC₁.因为小圆O的半径为1,且△A₁B₁C₁为正三角形,所以∠A₁OC₁ = 120°.过点O作OE⊥A₁C₁于点E.因为OA₁ = OC₁ = 1,所以A₁C₁ = 2A₁E,$\angle A_1OE=\frac{1}{2}\angle A_1OC_1 = 60°$.又∠A₁OE + ∠OA₁E = 90°,所以∠OA₁E = 90° - ∠A₁OE = 30°.所以$OE=\frac{1}{2}OA_1=\frac{1}{2}$.在Rt△OA₁E中,由勾股定理,得$A_1E=\sqrt{OA_1^2 - OE^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.所以$A_1C_1=\sqrt{3}$.又B₂C₁ = A₁C₁,A₂C₁ = B₁C₁ = A₁C₁,所以A₂B₂ = 2$\sqrt{3}$.依次可得$A_nB_n = 2^{n - 1}\cdot\sqrt{3}$.则$S_{\triangle A_nB_nC_n}=2^{2n - 4}\cdot3\sqrt{3}$.因为OA₁ = 1,所以OB₂ = 2.所以$OA_n = 2^{n - 1}$.又∠AₙOCₙ = 120°,所以$S_{扇形OA_nC_n}=\frac{120\pi×(2^{n - 1})^2}{360}=\frac{2^{2n - 2}}{3}\pi$.又$S_{\triangle A_nOC_n}=\frac{1}{3}S_{\triangle A_nB_nC_n}=2^{2n - 4}\cdot\sqrt{3}$,所以$S_n = S_{扇形OA_nC_n}-S_{\triangle A_nOC_n}=\frac{2^{2n - 2}}{3}\cdot\pi - 2^{2n - 4}\cdot\sqrt{3}=2^{2n - 4}\cdot(\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3})$.当n = 2025时,$S_{2025}=2^{4046}(\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3})$.

19. (6分)已知△ABC.
(1) 如图,用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O(只保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2) 如果△ABC的周长为14 cm,内切圆的半径为1.3 cm,求△ABC的面积.

答案：
(1)圆心O如图所示:
(2)过点O分别作OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为D,E,F,连接OA,OB,OC.因为内切圆的半径为1.3cm,所以OD = OE = OF = 1.3cm.又△ABC的周长为14cm,所以AB + AC + BC = 14cm.又$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}$,所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OF+\frac{1}{2}BC\cdot OD+\frac{1}{2}AC\cdot OE=\frac{1}{2}(AB + AC + BC)×1.3 = 9.1(cm^2)$.

20. (6分)(2024·安徽)如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分交AB于点E,交⊙O于另一点F,FA= FE.
(1) 求证:CD⊥AB;
(2) 过点F作FM⊥AB,垂足为M.若OM= OE= 1,求AC的长.

答案：
(1)因为FA = FE,所以∠FAE = ∠FEA.又∠FEA = ∠CEB,∠FAE = ∠BCE,所以∠CEB = ∠BCE.又CF平分∠ACD,所以∠ACF = ∠DCE.又AB是⊙O的直径,所以∠ACB = 90°,即∠ACF + ∠BCE = 90°.所以∠DCE + ∠CEB = 90°,即∠CDB = 90°,所以CD⊥AB.
(2)因为OM = OE = 1,所以ME = 2.又FA = FE,FM⊥AB,所以AM = ME = 2,即OA = AM + OM = 3.所以AB = 6,OB = 3.所以BE = OB - OE = 2.由
(1),得∠ACB = 90°,∠CEB = ∠BCE,所以BC = BE = 2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=4\sqrt{2}$.