《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

24. (10 分)已知 $ \triangle A B C $.
(1) 尺规作图:作出 $ \triangle A B C $ 的重心 G(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2) 在(1)的条件下,连接 AG,BG. 若 $ \triangle A B G $ 的面积是 $ 6 \mathrm{~cm}^{2} $,则 $ \triangle A B C $ 的面积是______ $ \mathrm{cm}^{2} $.

答案：

(1)如图，点G即为所求.
　　　　　　　
(2)18　解析:如图，因为G是$\triangle ABC$的重心，所以$AG=2NG$,即$AN=\frac{3}{2}AG$.因为$S_{\triangle ABG}=6cm^{2}$，所以$S_{\triangle ABN}=\frac{3}{2}S_{\triangle ABG}=9cm^{2}$.又AN是$\triangle ABC$的中线，所以$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABN}=18cm^{2}$.

25. (10 分)如图,以 AD 为直径的 $ \odot O $ 与 $ \triangle A B C $ 的边 BC 相切于点 D,分别与 AB,AC 交于 E,F 两点,连接 EF,DF,DE.
(1) 求证: $ \triangle A E F \backsim \triangle A C B $;
(2) 若 $ A D= 4, C D= 3, B D= 6 $,求 EF 的长.

答案：
(1)因为BC与$\odot O$相切于点D,AD是$\odot O$的直径，所以$AD⊥BC,∠AFD=90^{\circ }$,即$∠ADB=∠ADC=90^{\circ }$.所以$∠CAD+∠ADF=90^{\circ },∠C+∠CAD=90^{\circ }$,即$∠ADF=∠C$.又$∠AEF=∠ADF$,所以$∠AEF=∠C$.又$∠EAF=∠CAB$,所以$\triangle AEF\backsim \triangle ACB$.
(2)由
(1),得$∠ADF=∠C,\triangle AEF\backsim \triangle ACB$,则$\frac{EF}{CB}=\frac{AF}{AB}$.在$Rt\triangle ACD$中,$AD=4,CD=3$,由勾股定理，得$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=5$.在$Rt\triangle ABD$中,$BD=6$,由勾股定理，得$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=2\sqrt{13}$.又$∠DAF=∠CAD$,所以$\triangle DAF\backsim \triangle CAD$.所以$\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AC}$,即$\frac{AF}{4}=\frac{4}{5}$,解得$AF=\frac{16}{5}$.又$CB=BD+CD=9$,所以$\frac{EF}{9}=\frac{\frac{16}{5}}{2\sqrt{13}}$,解得$EF=\frac{72\sqrt{13}}{65}$.则$EF$的长为$\frac{72\sqrt{13}}{65}$.

26. (10 分)某款旅游纪念品很受游客喜爱,每个纪念品进价为 30 元,规定销售价格不低于每个 34 元,且不高于每个 42 元. 某商户在销售期间发现,当销售价格定为每个 34 元时,每天可售出 300 个,销售价格每个每上涨 1 元,每天的销售量将减少 10 个. 现该商户决定提价销售,设每天的销售量为 y 个,销售价格为每个 x 元.
(1) 直接写出 y 关于 x 的函数关系式(写出自变量 x 的取值范围);
$y=-10x+640(34\leq x\leq 42)$
(2) 将纪念品的销售价格定为每个多少元时,该商户每天销售纪念品获得的利润 w(元)最大?最大利润是多少元?
由(1),得$y=-10x+640$,则$w=(x-30)y=(x−30)\cdot (-10x+640)=-10x^{2}+940x-19200=-10(x-47)^{2}+2890$.因为$-10＜0$,所以当$x\leq 47$时,$w$随$x$的增大而增大.又$34\leq x\leq 42$,所以当$x=42$时,$w$取最大值，且最大值为$-10×(42-47)^{2}+2890=2640$.所以将纪念品的销售价格定为每个42元时，该商户每天销售纪念品获得的利润$w$(元)最大，且最大利润是2640元.
(3) 该商户从每天的利润中捐出 200 元做慈善,为了保证捐款后每天剩余利润不低于 1 690 元,则销售价格 x 的取值范围为______.$37\leq x\leq 42$

答案：
(1)$y=-10x+640(34\leq x\leq 42)$.
(2)由
(1),得$y=-10x+640$,则$w=(x-30)y=(x−30)\cdot (-10x+640)=-10x^{2}+940x-19200=-10(x-47)^{2}+2890$.因为$-10＜0$,所以当$x\leq 47$时,$w$随$x$的增大而增大.又$34\leq x\leq 42$,所以当$x=42$时,$w$取最大值，且最大值为$-10×(42-47)^{2}+2890=2640$.所以将纪念品的销售价格定为每个42元时，该商户每天销售纪念品获得的利润$w$(元)最大，且最大利润是2640元.
(3)$37\leq x\leq 42$