《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

9. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠B= 90^{\circ },AB= 6cm,BC= 7cm$. 点 P 以 2 cm/s 的速度从点 B 出发沿边 BA 向点 A 移动,同时点 Q 以 1 cm/s 的速度从点 C 出发沿边 CB 向点 B 移动,当其中一点到达终点时,另一点随即停止,连接 PQ. 当四边形 APQC 的面积为$11cm^{2}$时,点 P 的移动时间为 (2 s)
A.1 s
B.1 s 或 2.5 s
C.2 s
D.2 s 或 5 s

答案： 解析:设点 P 的移动时间为 t s.由题意,得BP=2t cm,CQ=t cm.又 AB=6 cm,BC=7 cm,∠B=90°,所以点 P 从点 B 移动到点 A所需的时间为6÷2=3(s),点 Q 从点 C 移动到点 B 所需的时间为7÷1=7(s),BQ=BC-CQ=(7-t)cm,$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=21\ \text{cm}^2$,即0≤t≤3.又$S_{\text{四边形}APQC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BPQ}$,且合测试卷(A)$S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}BP\cdot BQ$,$S_{\text{四边形}APQC}=11\ \text{cm}^2$,所以$21-\frac{1}{2}× 2t\cdot (7-t)=11$,解得$t_1=2$,$t_2=5$(舍去).则点 P 的移动时间为2 s.

10. 亮点原创 若非零实数 a,b 满足$3a^{2}+6a+2= 0,2b^{2}+6b+3= 0$,且$ab≠1$,则代数式$\frac{a^{2}b^{2}+1}{b^{2}}$的值为 ($\frac{8}{3}$)
A.$\frac{8}{3}$
B.$\frac{16}{3}$
C.8
D.16

答案： 解析:由题意,得a≠0,b≠0,ab≠1,$3a^2+6a+2=0$,$2b^2+6b+3=0$,则$2b^2+6b+3=0$可化为$3\left(\frac{1}{b}\right)^2+6\cdot \frac{1}{b}+2=0$,且$a\neq \frac{1}{b}$.所以a,$\frac{1}{b}$可看作一元二次方程$3x^2+6x+2=0$的两个不相等的根,所以$a+\frac{1}{b}=-2$,$a\cdot \frac{1}{b}=\frac{2}{3}$.则$\frac{a^2b^2+1}{b^2}=a^2+\frac{1}{b^2}=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2-2a\cdot \frac{1}{b}=(-2)^2-2× \frac{2}{3}=\frac{8}{3}$.

11. (2025·江苏常州期末)若非零实数 a,b,c 满足$4a-2b+c= 0$,则关于 x 的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$一定有一个根为$x=-2$.

答案： $x=-2$

12. 亮点原创 将一个表面积为$348cm^{2}$的包装盒剪开铺平,纸样和部分数据如图所示,则图中x(cm)满足的一元二次方程为$15× 20+2x(10-x)=348$.(不必化简)

答案： $15× 20+2x(10-x)=348$

13. (2024·四川成都)若 m,n 是一元二次方程$x^{2}-5x+2= 0$的两个实数根,则$m+(n-2)^{2}$的值为7.

答案： 7

14. 已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}+2x-1+m= 0$有两个相等的实数根,且$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})是反比例函数y= \frac{m}{x}$图像上的两个点. 若$x_{1}＜x_{2}＜0$,则$y_{1}$＞$y_{2}$.(填“＞”“＜”或“=”)

答案： ＞

15. 新素养 运算能力 (2023·湖南岳阳)已知关于 x 的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2= 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$,且$x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}= 2$,则实数$m=$3.

答案： 3

16. 已知关于 x 的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0的解是x_{1}= 1,x_{2}= -3$,则关于 x 的一元二次方程$a(2x-3)^{2}+b(2x-3)+c= 0$的两根之积是0.

答案： 0

17. 某农场拟建两间大小一样的矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留 1 m 宽的门,且计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 27 m. 若建成的两间饲养室总占地面积为$72m^{2}$,则饲养室与墙垂直的边长为4 m 或 6 m.

答案： 4 m 或 6 m

18. 如图,线段 OM,ON(OM＜ON)的长是关于 x 的一元二次方程$x^{2}-12x+32= 0$的两根,P 是 y 轴负半轴上一点,连接 PM,以点 P 为旋转中心,将线段 PM 逆时针旋转$90^{\circ }$得到线段 PQ,连接 QN. 当线段 QN 的长取最小值时,点 P 的坐标是(0,-2),此时线段 QN 的长是$6\sqrt{2}$.

答案： (0,-2) $6\sqrt{2}$ 解析:解方程$x^2-12x+32=0$,得$x_1=4$,$x_2=8$.则 OM=4,ON=8.所以点 N 的坐标为(0,-8).过点 Q 作 QH⊥y 轴于点 H,则∠PHQ=90°.由旋转的性质,得PM=QP,∠MPQ=90°,则∠MPO+∠QPH=90°.又∠MOP=90°,所以∠MOP=∠PHQ,∠PMO+∠MPO=90°,即∠PMO=∠QPH.所以△PMO≌△QPH(AAS).所以 HP=OM=4,QH=PO.设PO=a(a＞0),则 QH=a,即 OH=a+4.所以点 Q 的坐标为(-a,-a-4).所以$QN^2=(-a+8)^2+(-a-4)^2=2(a-2)^2+72$.所以当 a=2 时,QN 的长取最小值,且最小值为$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$,此时点 P 的坐标为(0,-2).