《2025年亮点给力大试卷九年级数学上册苏科版》

25. (10分)随着人工智能的发展,机器人逐渐被群众所熟知,通过程序的设置,机器人能够根据指令精准地完成一系列动作.如：根据指令$[θ^{\circ},S]$,机器人能在平面内完成下列动作：先原地顺时针旋转$θ^{\circ}$,再朝着此时面对的方向沿直线行进距离S(其中$0＜θ＜180$,$S≥0$).如图,在平面直角坐标系中,机器人“创创”的初始位置是原点,且面对y轴的正方向,根据指令$[45^{\circ},3\sqrt{2}]$,“创创”到达点A.
(1) 点A的坐标为______；
(2) 若“创创”根据第二个指令$[θ^{\circ},S]$完成动作后恰好在x轴上.
①若$θ=75$,则$S= $______,
②若$S= 2\sqrt{3}$,求θ的值；
(3) 若“创创”根据第二个指令$[θ^{\circ},2\sqrt{5}]$完成动作,另一机器人“新新”在y轴负半轴的点P处,面对y轴的正方向,根据指令$[α^{\circ},5\sqrt{5}]$完成动作,其中$tanα^{\circ}=2$,且“创创”和“新新”的行进轨迹有公共点,求OP的长的最大值.

答案：

(1)(3,3)
(2) ① 6
② 如图①,过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C. 由
(1),得点 A 的坐标为(3,3),即 AC=3. 又“创创”完成第二个指令[θ°,S]后恰好在 x 轴上,所以分在点 C 的两侧两种情况. 当“创创”在点 C 的右侧点 B 处时,在 Rt△ABC 中,AB=2$\sqrt{3}$,由勾股定理,得 BC= $\sqrt{AB^2 - AC^2}$= $\sqrt{3}$,即 BC= $\frac{1}{2}$AB. 所以∠CAB=30°,所以 θ=180-45-30=105;当“创创”在点 C 的左侧点 B'处时,同理,得 θ=165. 综上,θ 的值为 105 或 165.

(3) 设“新新”的行进轨迹是线段 PM,则 tan∠OPM=2,PM=5$\sqrt{5}$. 因为“创创”和“新新”的行进轨迹有公共点,且 OP 的长要取最大值,所以 PM 所在的直线与以点 A 为圆心,2$\sqrt{5}$为半径的半圆(不含端点)相切,切点为 Q. 如图②,连接 AQ,过 A,P 两点分别作 y 轴的垂线,垂足分别为 D,P,过点 Q 作 x 轴的垂线,这些垂线相交于 E,F 两点,则 EF//y 轴,四边形 DEFP 是矩形. 所以 PF=DE,DP=EF,∠PQF=∠OPM. 由
(1),得点 A 的坐标为(3,3),所以 OD=AD=3. 又∠AQP=90°,所以∠AQE+∠PQF=180°-∠AQP=90°. 又∠AQE+∠EAQ=90°,所以∠PQF=∠EAQ. 又 tan∠OPM=tanα°=2,所以 tan∠EAQ=tan∠PQF=2. 又 tan∠EAQ= $\frac{EQ}{AE}$,所以 $\frac{EQ}{AE}$=2,即 EQ=2AE. 在 Rt△AEQ 中,AQ=2$\sqrt{5}$,由勾股定理,得 AE²+EQ²=AQ²,所以 AE²+(2AE)²=(2$\sqrt{5}$)²,解得 AE=2(负值已舍去). 则 EQ=4. 所以 PF=DE=AD+AE=5. 同理,得 QF= $\frac{5}{2}$. 所以 EF=EQ+QF= $\frac{13}{2}$. 所以 OP=DP-OD=EF-OD= $\frac{13}{2}$-3= $\frac{7}{2}$. 所以 OP 的长的最大值为 $\frac{7}{2}$.