《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

5. 四边形$ABCD内接于\odot O$,$AC$,$BD相交于点E$.
(1)如图①,若$AC= BD$,求证：$AE= DE$；
(2)如图②,若$AC\perp BD$,连接$OC$,求证：$\angle OCD= \angle ACB$.

答案：
证明:
(1)
∵AC=BD,
∴$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{BD}$,
即$\overset{\frown}{AB}$+$\overset{\frown}{BC}$=$\overset{\frown}{BC}$+$\overset{\frown}{CD}$,
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{CD}$,
∴∠ADB=∠CAD,
∴AE=DE;
(2)如答图，延长CO交⊙O于点F，连接DF，
则CF为⊙O的直径.
　　　　　　　　
∵AC⊥BD,
∴∠AED=90°,
∴∠ADE+∠CAD=90°.
∵∠ACB=∠ADE,∠F=∠CAD,
∴∠ACB+∠F=90°.
∵CF为⊙O的直径，
∴∠CDF=90°,
∴∠F+∠FCD=90°,
∴∠ACB=∠FCD,
即∠OCD=∠ACB.

6. 已知四边形$ABCD内接于\odot O$,$\angle DAB= 90^{\circ}$.
(1)如图①,连接$BD$,若$\odot O的半径为6$,$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{AB}$,求$AB$的长；
(2)如图②,连接$AC$,若$AD= 5$,$AB= 3$,对角线$AC平分\angle DAB$,求$AC$的长.

答案：
解:
(1)
∵∠DAB=90°,
∴BD为⊙O的直径，即BD=12.
∵$\overset{\frown}{AD}$=$\overset{\frown}{AB}$,
∴AD=AB,
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB= $\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=6$\sqrt{2}$.
(2)如答图，连接BD,过点B作BH⊥AC于点H.
　　　　　　　　
∵∠DAB=90°,
∴BD为⊙O的直径,BD= $\sqrt{5^2 + 3^2}$=$\sqrt{34}$,
∴∠BCD=90°.
∵AC平分∠DAB,
∴∠BAC=∠DAC=45°,
∴∠CBD=∠BDC=45°,
∴△CDB为等腰直角三角形，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$× $\sqrt{34}$=$\sqrt{17}$.
在Rt△ABH中,∠BAC=45°,
∴AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
在Rt△BCH中,CH= $\sqrt{(\sqrt{17})^2 - (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$,
∴AC=AH+CH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=4$\sqrt{2}$