《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. 问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动:在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$D为AC$上一点,$CD= \sqrt {2}$,动点$P$以每秒1个单位长度的速度从$C$点出发,在三角形边上沿$C→B→A$匀速运动,到达点$A$时停止,以$DP为边作正方形DPEF$.设点$P的运动时间为t\ s$,正方形$DPEF的面积为S$,探究$S与t$的关系.
初步感知
(1)如图①,当点$P由点C运动到点B$时,
①当$t= 1$时,$S= $____;
②$S关于t$的函数解析式为____.
(2)当点$P由点B运动到点A$时,经探究发现$S是关于t$的二次函数,并绘制成如图②所示的图象.请根据图象信息,求$S关于t的函数解析式及线段AB$的长.
延伸探究
(3)若存在3个时刻$t_{1},t_{2},t_{3}(t_{1}\lt t_{2}\lt t_{3})对应的正方形DPEF$的面积均相等.
①$t_{1}+t_{2}= $____,$t_{2}+t_{3}= $____;
②当$t_{3}= 4t_{1}$时,求正方形$DPEF$的面积.

答案：

(1)①3 ②$S=t^{2}+2(0 \leqslant t \leqslant 2)$
(2)解:由题图②可得当点P运动到点B处时,$PD^{2}=BD^{2}=6$，当点P运动到点A处时,$PD^{2}=AD^{2}=18$。抛物线的顶点坐标为(4,2)。
$\therefore BC=\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{6 - 2}=2$，$AD=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\therefore$抛物线过点(2,6)。
设$S=a(t - 4)^{2}+2$，将(2,6)代入，得$4a + 2 = 6$，
解得$a = 1$，$\therefore S=(t - 4)^{2}+2=t^{2}-8t + 18$。
$\therefore AC=AD + CD=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}+2^{2}}=6$，$\therefore$抛物线的函数解析式为$S=t^{2}-8t + 18(2 \leqslant t \leqslant 8)$。
(3)①4 8 点拨:由
(1)
(2)可得$S=\begin{cases}t^{2}+2(0 \leqslant t \leqslant 2) \\t^{2}-8t + 18(2 \leqslant t \leqslant 8) \end{cases}$，图象如答图。
∵存在3个时刻$t_{1},t_{2},t_{3}(t_{1} ＜ t_{2} ＜ t_{3})$对应的正方形DPEF的面积均相等，$\therefore 2 ＜ S ＜ 6$。
∴点$P_{1}$与$P_{2}$关于直线$t = 2$对称，点$P_{2}$与$P_{3}$关于直线$t = 4$对称，$\therefore \frac{1}{2}(t_{1}+t_{2})=2$，$\frac{1}{2}(t_{2}+t_{3})=4$。
$\therefore t_{1}+t_{2}=4$，$t_{2}+t_{3}=8$。
②解:由①知$t_{1}+t_{2}=4$，$t_{2}+t_{3}=8$，$\therefore t_{3}-t_{1}=4$。
∵$t_{3}=4t_{1}$，$\therefore t_{1}=\frac{4}{3}$，$\therefore S=(\frac{4}{3})^{2}+2=\frac{34}{9}$。