《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

新知梳理
1. 一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
2. 一元二次方程的一般形式是$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$.其中$ax^{2}$是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
3. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
课堂小练

答案： 1. 一个 2 2. $ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$ $ax^{2}$ a bx b c 3. 相等 根

1. (2024·锡山区期末)下列方程一定是一元二次方程的是 (B)
A.$x + 8 = 6y$
B.$x(x - 2) = 0$
C.$x-\frac{1}{x}= 8$
D.$ax^{2}+bx + c = 0$

答案： B

2. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k + 2)x^{2}+3x + k^{2}-k - 6 = 0$ 必有一根为 $0$,则 $k$ 的值是 (C)
A.$3$ 或 $-2$
B.$-3$ 或 $2$
C.$3$
D.$-2$

答案： C

3. (2024·南充)已知 $m$ 是方程 $x^{2}+4x - 1 = 0$ 的一个根,则 $(m + 5)(m - 1)$ 的值为-4.

答案： -4

4. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $5x^{2}-1 = 4x$; (2) $4x^{2}= 81$; (3) $4x(x + 2)= 25$.

答案： 解:
(1)$5x^{2}-1=4x$化成一般形式为$5x^{2}-4x-1=0$,二次项系数为5,一次项系数为-4,常数项为-1.
(2)$4x^{2}=81$化成一般形式为$4x^{2}-81=0$,二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-81.
(3)$4x(x+2)=25$化成一般形式为$4x^{2}+8x-25=0$,二次项系数为4,一次项系数为8,常数项为-25.

5. 根据下列问题列方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
(1)一个矩形的长比宽多 $1cm$,面积是 $132cm^{2}$,矩形的长和宽各是多少?
(2)有一根 $1m$ 长的铁丝,怎样用它围成一个面积为 $0.06m^{2}$ 的矩形?
(3)参加某次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手 $10$ 次,有多少人参加聚会?

答案： 解:
(1)设矩形的宽为x cm,依题意,得$x(x+1)=132$,化成一元二次方程的一般形式为$x^{2}+x-132=0$.
(2)设矩形的宽为x m,依题意,得$x(0.5-x)=0.06$,化成一元二次方程的一般形式为$x^{2}-0.5x+0.06=0$.
(3)设有x人参加聚会,依题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=10$,化成一元二次方程的一般形式为$x^{2}-x-20=0$.