《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. 如图①,为美化校园环境,某校计划在一块长60m、宽40m的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a m.
(1)花圃的面积为4a²-200a+2400m²(用含a的式子表示)；
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的$\frac{3}{8}$,求此时通道的宽；
解:当通道所占面积是整个长方形空地面积的$\frac{3}{8}$,即花圃所占面积是整个长方形空地面积的$\frac{5}{8}$时,$4a^{2}-200a+2400=60×40×\frac{5}{8}$,解方程得$a_{1}=5$,$a_{2}=45$(不符合题意,舍去),即此时通道的宽为5m.
(3)已知某园林公司修建通道与花圃的造价$y_{1}$(元)、$y_{2}$(元)和修建面积$x(m^{2})$之间的函数关系如图②所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于2m且不超过10m,那么通道宽为多少时,修建的通道和花圃的总造价为105920元?
解:当$a=10$时,花圃面积为$(60-2×10)×(40-2×10)=800(\text{m}^{2})$,即此时花圃面积最少为$800\ \text{m}^{2}$.根据题图可设$y_{1}=mx$,当$x\geqslant800$时,$y_{2}=kx+b$.将$(1200,48000)$,$(800,48000)$,$(1200,62000)$代入,则有$1200m=48000$,解得$m=40$,$\therefore y_{1}=40x$且有$\begin{cases}800k+b=48000, \\1200k+b=62000,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=35, \\b=20000,\end{cases}$$\therefore y_{2}=35x+20000(x\geqslant800)$.$\because$花圃的面积为$(4a^{2}-200a+2400)\text{m}^{2}$,$\therefore$通道的面积为$2400-(4a^{2}-200a+2400)=-4a^{2}+200a(\text{m}^{2})$,$\therefore 35(4a^{2}-200a+2400)+20000+40(-4a^{2}+200a)=105920$,解得$a_{1}=2$,$a_{2}=48$(舍去).答:通道宽为2m时,修建的通道和花圃的总造价为105920元.

答案： 1.
(1)$4a^{2}-200a+2400$
(2)解:当通道所占面积是整个长方形空地面积的$\frac{3}{8}$,
即花圃所占面积是整个长方形空地面积的$\frac{5}{8}$时,
$4a^{2}-200a+2400=60×40×\frac{5}{8}$,
解方程得$a_{1}=5$,$a_{2}=45$(不符合题意,舍去),
即此时通道的宽为5m.
(3)解:当$a=10$时,花圃面积为$(60-2×10)×(40-2×10)=800(\text{m}^{2})$,
即此时花圃面积最少为$800\ \text{m}^{2}$.
根据题图可设$y_{1}=mx$,当$x\geqslant800$时,$y_{2}=kx+b$.
将$(1200,48000)$,$(800,48000)$,$(1200,62000)$代入,则有$1200m=48000$,解得$m=40$,
$\therefore y_{1}=40x$且有$\begin{cases}800k+b=48000, \\1200k+b=62000,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=35, \\b=20000,\end{cases}$
$\therefore y_{2}=35x+20000(x\geqslant800)$.
$\because$花圃的面积为$(4a^{2}-200a+2400)\text{m}^{2}$,
$\therefore$通道的面积为$2400-(4a^{2}-200a+2400)=-4a^{2}+200a(\text{m}^{2})$,
$\therefore 35(4a^{2}-200a+2400)+20000+40(-4a^{2}+200a)=105920$,解得$a_{1}=2$,$a_{2}=48$(舍去).
答:通道宽为2m时,修建的通道和花圃的总造价为105920元.