《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

10. (2024·龙岩期末)已知抛物线$y= ax^{2}-3x+1上有两点A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$,其对称轴是直线$x= x_{0}$,若$|x_{1}-x_{0}|＞|x_{2}-x_{0}|$时,总有$y_{1}＞y_{2}$,同一坐标系中有$M(-1,-2)$,$N(3,2)$,且抛物线$y= ax^{2}-3x+1与线段MN$有两个不相同的交点,则$a$的取值范围是______$\frac{10}{9}\leqslant a＜2$.

答案： $\frac{10}{9}\leqslant a＜2$

11. (2024·贵州)某超市购入一批进价为$10$元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现：销售单价不低于进价时,日销售量$y$(盒)与销售单价$x$(元)是一次函数关系,下表是$y与x$的几组对应值.
| 销售单价$x$/元 | …$$ | $12$ | $14$ | $16$ | $18$ | $20$ | …$$ |
| 销售量$y$/盒 | …$$ | $56$ | $52$ | $48$ | $44$ | $40$ | …$$ |
(1)求$y与x$的函数解析式；
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大？最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为$m$元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为$392$元,求$m$的值.

答案： 解:
(1)设$y=kx+b(k\neq 0)$.$\therefore \left\{\begin{array}{l} 12k+b=56,\\ 14k+b=52,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=80.\end{array}\right. $$\therefore y=-2x+80.$
(2)设日销售利润为w元.$w=(x-10)(-2x+80)=-2x^{2}+100x-800=-2(x^{2}-50x+625)-800+1250=-2(x-25)^{2}+450.$答:糖果销售单价定为25元时,所获日销售利润最大,最大利润是450元.
(3)$w=(x-10-m)(-2x+80)=-2x^{2}+(100+2m)x-800-80m.$
∵最大利润为392元,$\therefore \frac {4×(-2)(-800-80m)-(100+2m)^{2}}{4×(-2)}=392.$整理得$m^{2}-60m+116=0$,即$(m-2)(m-58)=0.$解得$m_{1}=2,m_{2}=58.$当$m=58$时,$x=-\frac {b}{2a}=54,$
∴每盒糖果的利润$=54-10-58=-14$(元).
∴舍去.$\therefore m$的值为2.

12. (2024·梁山期末)已知抛物线$y= -\frac{1}{2}x^{2}+bx+1$.
(1)当抛物线经过点$(4,1)$时：
①求抛物线的函数解析式；
②如果$M$,$N$是抛物线上两点(点$M在点N$的左侧),且两点之间的水平距离为$2$,请求出这两点纵坐标之和$W$的最大值.
(2)当二次函数$y= -\frac{1}{2}x^{2}+bx+1的自变量x满足-1\leqslant x\leqslant 2$时,函数的最大值为$7$,求$b$的值.

答案： 解:
(1)①
∵抛物线$y=-\frac {1}{2}x^{2}+bx+1$经过点$(4,1),$$\therefore -\frac {1}{2}×4^{2}+4b+1=1,\therefore b=2,$
∴抛物线的函数解析式为$y=-\frac {1}{2}x^{2}+2x+1.$②
∵M,N是抛物线上两点(点M在点N的左侧),且两点之间的水平距离为2,
∴设$M(m,-\frac {1}{2}m^{2}+2m+1)$,则$N(m+2,-\frac {1}{2}m^{2}+3),$$\therefore W=-\frac {1}{2}m^{2}+2m+1+(-\frac {1}{2}m^{2}+3)=-m^{2}+2m+4=-(m-1)^{2}+5,$$\because -1＜0$,
∴当$m=1$时,M,N两点纵坐标之和W的最大值为5.
(2)二次函数$y=-\frac {1}{2}x^{2}+bx+1$的图象的对称轴为直线$x=b.$①当$b＞2$时,
∵自变量x满足$-1≤x≤2$时,函数的最大值为7,
∴当$x=2$时,函数取得最大值,$\therefore -\frac {1}{2}×2^{2}+2b+1=7,\therefore b=4;$②当$b＜-1$时,
∵自变量x满足$-1≤x≤2$时,函数的最大值为7,
∴当$x=-1$时,函数取得最大值,$\therefore -\frac {1}{2}×(-1)^{2}-b+1=7,\therefore b=-6.5;$③当$-1≤b≤2$时,
∵自变量x满足$-1≤x≤2$时,函数的最大值为7,
∴当$x=b$时,函数取得最大值,$\therefore -\frac {1}{2}b^{2}+b^{2}+1=7$,解得$b=\pm 2\sqrt {3}$,均不符合题意,舍去.综上,b的值为4或-6.5.